MATEMATICA II (CdL Geologia)
AA 2023-2024 - I Semestre (Docente: Alessandro Giuliani, Esercitatrici: Livia Corsi e Giovanna Marcelli)
AVVISI
- Il secondo esonero si svolgerà mercoledì 10 gennaio inn
aula D alle ore 14:30.
Diario delle lezioni
Lezioni 1 e 2 [25/9/2023] Primitiva di una funzione. La posizione come primitiva della velocità. Esempi: calcolo della legge oraria corrispondente a velocità costante, costante a tratti e crescente linearmente (accelerazione costante). Legame tra primitiva e area sottesa al grafico della funzione. Calcolo della legge oraria corrispondente a velocità crescente quadraticamente.
Lezione 3 [26/9/2023] Calcolo dell'area sottesa a una parabola tra 0 e T come limite delle somme di Riemann inferiore e superiore. Verifica che tale area, uguale a T3/3, coincide con la differenza F(T)-F(0), dove F è una qualsiasi primitiva di x2.
Lezioni 4 e 5 [27/9/2023] Somme di Riemann inferiori e superiori. Teorema: funzioni continue a tratti (con al più discontinuità di salto) sono integrabili, i.e, i limiti delle somme di Riemann inferiori e superiori esistonio, sono finiti e coincidono. Definizione di integrale definito. Esempio: integrale definito di una funzione costante a tratti, positiva prima e negativa poi. Interpretazione geometrica dell'integrale definito come "area con segno" sotto il grafico della funzione. Teorema fondamentale del calcolo integrale (enunciato e dimostrazione). Corollario: integrale definito come differenza di una primitiva calcolata tra i due estremi.
Esercitazioni 1 e 2 [2/10/2023] Ancora sul teorema fondamentale del calcolo integrale. Linearità e proprietà elementari degli integrali. Esempi ed esercizi: l'integrale di x1/4 tra 0 e 5, confronto tra il valore esatto e le somme di Riemann inferiori e superiori di ordine n=5 e n=10; verifica del teorema fondamentale del calcolo integrale per la funzione f(x)=|x-1|.
Lezione 6 [3/10/2023] Definizione di integrale indefinito. Integrali indefiniti di potenze ed esponenziali. Esempi: integrali definiti di combinazioni lineari di potenze e esponenziali.
Lezioni 7 e 8 [4/10/2023] Integrali indefiniti di sin x, cos x, 1/cos2x, 1/sin2x, 1/(1+x2). Esempi ed esercizi.
Lezioni 9 e 10 [9/10/2023] Integrale di (1-x2)-1/2. L'integrale indefinito di f(g(x))g'(x) è F(g(x))+c, con F una primitiva di f. Esempi ed esercizi.
Lezione 11 [10/10/2023] Ancora esempi sul calcolo delle primitive di funzioni composte della forma f(g(x))g'(x). Metodo di integrazione per parti. Esempi: integrali di ln x e di x sin x.
Lezioni 12 e 13 [11/10/2023] Ancora esempi sul metodo di integrazione per parti. La nozione di media integrale di una funzione.
Lezioni 14 e 15 [16/10/2023] Metodo di integrazione per sostituzione. Esempi ed esercizi.
Lezioni 16, 17 e 18 [18/10/2023] Ancora esempi sul metodo di integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Correzione esercizi secondo foglio. Esempi ed esercizi sull'integrazione delle funzioni razionali.
Esercitazioni 3 e 4 [23/10/2023] Integrali impropri su intervalli al cui bordo la funzione integranda diverge (ad es., integrale di x-p su [0,1]) e su domini illimitati (ad es., integrali di x-p e di e-x su [1,+∞)). Esempi ed esercizi.
Lezione 19 [24/10/2023] Ancora esempi di integrali impropri.
Lezioni 20 e 21 [25/10/2023] Lunghezza di una curva in forma cartesiana e parametrica. Esempi: lunghezza di y=x3/2 (in forma cartesiana e parametrica: (t2,t3)) e di y=x2. La cicloide: equazione parametrica e lunghezza.
Lezioni 22 e 23 [30/10/2023] Lunghezza di una curva in forma polare. Integrali curvilinei di funzioni scalari lungo curve espresse in forma parametrica, in due e tre dimensioni. Calcolo della massa e delle coordinate del baricentro di una spirale circolare con densità lineare proporzionale al quadrato della distanza dall'origine. Esempi ed esercizi.
Lezione 24 [31/10/2023] Introduzione agli integrali curvilinei di forme differenziali: richiami sui campi vettoriali. Il gradiente di una funzione scalare. Linee di livello e direzione di massima ascesa. Definizione di integrale curvilineo di una forma differenziale.
Lezioni 25 e 26 [13/11/2023] Integrale curvilineo di una forma differenziale associata a un campo vettoriale lungo una curva orientata: definizione e forma esplicita nel caso in cui la curva sia espressa in forma cartesiana o parametrica. Esempi. Indipendenza dell'integrale nel caso in cui il campo vettoriale sia conservativo, ovvero sia il gradiente di una funzione scalare. Forze conservative e energia potenziale. Il lavoro di una forza conservativa lungo un cammino chiuso è nullo.
Lezione 27 [14/11/2023] Condizione di chiusura come condizione necessaria affinchè un campo vettoriale sia conservativo. Esempi di campi vettoriali non chiusi (e quindi non conservativi). Esempio di un campo vettoriale chiuso e conservativo: calcolo della primitiva del campo.
Lezioni 28 e 29 [15/11/2023] Esempio di un campo chiuso ma non conservativo: calcolo della primitiva in un sottoinsieme (semplicemente connesso) del dominio massimale di definizione del campo; dimostrazione che il campo non è conservativo (l'integrale curvilineo lungo una curva chiusa è non nullo). Definizione di dominio semplicemente connesso. Teorema (solo enunciato): un campo vettoriale chiuso su un dominio semplicemente connesso è anche conservativo. Esempio di un campo chiuso, definito sul piano cartesiano meno l'origine, che risulta essere anche conservativo. La nozione di integrale di una forma differenziale e della condizione di chiusura per campi vettoriali in tre dimensioni.
Esercitazioni 5 e 6 [20/11/2023] Riepilogo su integrali curvilinei di campi vettoriali (integrali di forme differenziali lungo curve orientate), sulla nozione di campo chiuso e/o conservativo. Esempi. Introduzione agli integrali in due variabili.
Lezione 30 [21/11/2023] Integrazione in due variabili: definizione dell'integrale definito in termini di limiti di somme di Riemann. Integrale definito di f(x,y) come volume con segno della regione sottesa dal grafico di z=f(x,y). Come calcolare un integrale definito in due variabili su un dominio rettangolare. Teorema di Fubini (solo enunciato): l'ordine di integrazione (prima rispetto a x e poi rispetto a y, o viceversa) dà lo stesso risultato. Esempi: integrali doppi di y2-2x2, di cos(x+2y) e di xyex2y su domini rettangolari.
Lezioni 31 e 32 [22/11/2023] Esempi sul calcolo di integrali doppi in domini non rettangolari (triangolari e semicircolari), verifica dell'indipendenza del risultato dall'ordine di integrazione. Uso delle coordinate polari negli integrali doppi.
Lezioni 33 e 34 [27/11/2023] Ancora esempi ed esercizi su integrali doppi in coordinate polari. Il calcolo dei volumi dei solidi di rotazione. L'integrale Gaussiano. Primi cenni alla regola generale di cambio di coordinate negli integrali doppi.
Lezione 35 [28/11/2023] Cambi di coordinate generali negli integrali doppi: Jacobiano della trasformazione, determinante dello Jacobiano. Un esempio.
Lezioni 36 e 37 [29/11/2023] Integrali tripli: definizione ed esempi. Integrali tripli su parallelepipedi e in coordinate cartesiane. Cambi di variabili negli integrali tripli: in particolare, cambi di variabili da coordinate cartesiane a coordinate sferiche o cilindriche. Esempio: calcolo della massa di un pianeta sferico come integrale di una densità che descresce linearmente con la distanza dal centro.
Esercitazioni 7 e 8 [4/12/2023] Introduzione alle equazioni differenziali: l'esempio del decadimento radioattivo del C14. Equazioni differenziali lineari del primo (e del secondo) ordine. Soluzione generale di x'=λx al variare di λ. Il problema di Cauchy.
Lezione 38 [5/12/2023] Definizione generale di equazioni differenziali del primo e del second'ordine. differenziale. Problema di Cauchy: unicità della soluzione a dato iniziale fissato. Equazione differenziale lineare del tipo N'(t)=aN(t)+b con a e b costanti: analisi qualitativa della soluzione e soluzione esplicita. Equilibrio stabile e instabile. Esempio: datazione delle rocce con il decadimento radioattivo dell'uranio in torio (modello di evoluzione per le concentrazioni di uranio e di torio nel tempo).
Lezioni 39 e 40 [6/12/2023] Equazioni differenziali lineari non omogenee della forma x'(t)=ax(t)+b(t) con a costante e della forma x'(t)=a(t)x(t)+b(t). Metodo di variazione delle costanti. Equazioni differenziali del prim'ordine a variabili separabili: l'esempio di N'(t)=(10-N(t)/10)N(t); punti di equilibrio, stabilità, soluzione esplicita. Strategia generale per la risoluzione di equazioni differenziali a variabili separabili della forma x'(t)=a(t)F(x(t)).
Esercitazione 9 [6/12/2023] Esempi di equazioni differenziali del prim'ordine a variabili separabili e loro risoluzione.
Esercitazioni 10 e 11 [11/12/2023] Esempi ed esercizi su equazioni differenziali del prim'ordine a variabili separabili: metodo ri risoluzione, analisi qualitativa e natura stabile o instabile delle soluzioni di equilibrio. Equazioni differenziali lineari del second'ordine a coefficienti costanti: caso omogeneo e non. Esempi e applicazioni: l'oscillatore armonico smorzato e forzato. La soluzione dell'equazione di Newton in assenza di forze e in presenza di una forza elastica.
Lezione 41 [12/12/2023] Equazioni differenziali lineari del second'ordine a coefficienti costanti, caso omogeneo: soluzione generale e problema di Cauchy (dati iniziali per posizione e velocità); soluzioni linearmente indipendenti. Equazione caratteristica e calcolo della soluzione generale nei tre casi di radici reali distinte, complesse coniugate e coincidenti.
Esercitazioni 12 e 13 [13/12/2023] Equazioni differenziali lineari del second'ordine a coefficienti costanti omogenee: esempi ed esercizi. Il caso non omogeno: soluzione generale nella forma di soluzione generale dell'omogenea + soluzione particolare della non omogena. Come calcolare una soluzione particolare della non omogenea: il caso in cui la forzante è un polinomio di grado due.
Esercitazioni 14 e 15 [18/12/2023] Equazioni differenziali lineari del second'ordine a coefficienti costanti non omogenee: ricerca della soluzione particolare nel caso di forzante polinomiale generale, esponenziale e sinusoidale. Esempi ed esercizi.
Lezione 42 [19/12/2023] Esempi ed esercizi su equazioni differenziali lineari del second'ordine a coefficienti costanti con termine non omogeneo sinusoidale.
Lezioni 43 e 44 [20/12/2023] L'oscillatore armonico smorzato: casi supercritico e critico (attrito grande) e sottocritico (attrito piccolo, oscillazioni smorzate). L'oscillatore armonico smorzato e forzato con forzante sinusoidale: calcolo della soluzione particolare. Potenza trasferita dalla orza esterna all'oscillatore. Risonanza.
Esercitazione 16 [20/12/2023] Esercizi di riepilogo su equazioni differenziali lineari del second'ordine a coefficienti costanti non omogenee.
Esercitazioni 17 e 18 [8/1/2024] Prova pre-esonero
Lezione 45 [9/1/2024] Esercizi di riepilogo sulla seconda parte del corso
Fogli di esercizi
- Foglio di esercizi delle prime due settimane
- Foglio di esercizi della terza settimana
- Foglio di esercizi della quarta settimana
- Foglio di esercizi della quinta settimana
- Foglio di esercizi della sesta settimana
- Foglio di esercizi della settima settimana
- Foglio di esercizi dell'ottava settimana
- Foglio di esercizi della nona settimana
- Foglio di esercizi della decima settimana
- Foglio di esercizi dell'undicesima settimana
- Foglio di esercizi della dodicesima settimana
- Simulazione del primo esonero (2/11/2023)
- Simulazione del secondo esonero (22/12/2023)
- Simulazione del secondo esonero (8/1/2024)
- Orario lezioni:
- - lunedì: 12:00 - 13:30 (Aula D), martedì: 14:30 - 15:15 (Aula B2), mercoledì: 14:30 - 17:00 (Aula D)
- Ricevimento:
- - per appuntamento alessandro.giuliani@uniroma3.it
- - per appuntamento alessandro.giuliani@uniroma3.it
Esami ed esoneri
Testi consigliati
-
Testi principale di riferimento:
- [BEM] D. Benedetto, M. Degli Esposti, C. Maffei: Matematica
per le scienze della vita, Ed. Ambrosiana.
- [MS] P. Marcellini, C. Sbordone: Elementi di Calcolo, Liguori Editore. In alternativa, degli stessi autori: Calcolo, Liguori Editori.
Testi di esercizi:- [MSes] P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di matematica, vol. primo, parti prima e seconda, Ed. Liguori.
- [SS] S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Matematica - Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli.
- [MS] P. Marcellini, C. Sbordone: Elementi di Calcolo, Liguori Editore. In alternativa, degli stessi autori: Calcolo, Liguori Editori.
Ultima modifica 24/1/2024