Istituzioni di Matematica per Filosofi

Corso di laurea in Filosofia

AA 2015-2016 - II Semestre

(Prof L. Chierchia )

Indice
Avvisi
Guida dello studente [Scheda sintetica del corso a p. 31]
Orari
Diario delle lezioni
Appunti presi in aula
Bibliografia
Esami

AVVISI

• Il giorno 26/4/16 la lezione verrà sostituita dal seminario del prof. Michel Waldschmidt dal titolo "Continued fractions: introduction and applications" che si terrà alle 16:30 in aula G, primo piano, edificio Aule - Largo San Leonardo Murialdo, 1.

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• [9/3/16] La valutazione di fine corso si baserà sulla discussione di esercizi assegnati durante le lezioni. Ogni settimana corrisponde circa a 4 ore accademiche di lezioni frontali.

Orario delle lezioni
Lunedì 13:00-14:00 (Aula 6); martedì: 17:00-19:00 (Aula 9), Via Ostiense, 234-236

Orario di ricevimento
L. Chierchia: mercoledì 18:00-19:00, Studio 210, Ed C, Dipartimento di Matematica e Fisica - Sezione Matematica

Diario delle lezioni
• Settimana 1 [7/3/16] Illustrazione dei contenuti del corso. Discussione della bibliografia.
  Teorema di Pitagora-Aristotele: L'equazione a ² = 2 b² non ha soluzioni a e b intere a parte la soluzione banale a=b=0. [Dimostrazione "per assurdo" di Aristotele].
  Dimostrazione alternativa (basata sul "primo teorema di Euclide") del Teorema di Pitagora-Aristotele.
  Definizione di divisore di un intero, numeri primi e numeri compositi.
  Teorema I numeri primi sono infiniti.

  Esercizio 1 Sia x una soluzione dell'equazione xⁿ+ a_n-1 x^n-1 +...+ a₁ x + a₀ = 0 , dove n ≥ 1 è un intero e i coefficienti a_k sono interi. Allora x è un intero oppure un numero irrazionale.

• Settimana 2 [14/3/16] Il concetto di insieme. Il simbolo ∈. Insieme unione, intersezione, complementare (rispetto ad un fissato insieme "universo") e insieme vuoto. Leggi di De Morgan. Insiemi prodotto (cartesiano).
  Sintesi Teoria elementare degli insiemi (E. Giusti)
  Generalità su insiemi e funzioni (G. Prodi)
  Definizione di relazione e di funzione.
  Gli assiomi dei numeri reali: i primi quindici assiomi "algebrici" [ Assiomi_dei_numeri_reali.pdf ]. Alcune conseguenze semplici degli assiomi algebrici (leggi di semplificazione; unicità di inverso e reciproco; 0 ⋅ x= 0 per ogni x; -1 e opposti; x ⋅ x ≥ 0 per ogni x; 1 > 0).

  Esercizio 2 Si consideri l'insieme Z₂={0,1} con le seguenti regole di "somma" e "moltiplcazione": 0 ⋅ 0 = 0 ⋅ 1 = 1 ⋅ 0=0; 1⋅ 1 = 1; 0+0=1+1=0, 0+1=1+0=1. Si dimostri che Z₂ è un campo [ossia verifica gli assiomi (S₁)-(S₄), (P₁)-(P₄) e (SP) di Assiomi_dei_numeri_reali.pdf ]
  Esercizio 3 Fare 15 esercizi a scelta della sezione 104 a p. 6-7 di [O].

• Settimana 3 [22/3/16] Maggioranti, minoranti, massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore.
  Il XVI assioma (assioma di completezza): ogni sottoinsieme di R non vuoto e limitato superiormente ammette estremo superiore. Esercizi svolti in classe sull'estremo superiore.
  Insiemi induttivi e definizione dei numeri naturali. Il principio di induzione e prime proprietà di N.
  Assiomatica di R - parte I (questo file è una estensione (con alcune modifiche) del file "Assiomi_dei_numeri_reali.pdf")
  Esercizio 4 Svolgere gli esercizi nel file "Assiomatica di R - parte I" (Esercizio a p. 4; i due esercizi nell'Osservazione 16).

• Settimana 4 [4/4/16] N è chiuso rispetto a somma e prodotto. Tra due naturali consecutivi non ci sono altri numeri narurali. Se n e m sono naturali e n > m allora n≥ m+1. Se n e m sono naturali e n > m alora n - m è naturale.
  Teorema del minimo: un sottoinsieme non vuoto di N ha minimo. Teorema del massimo: un sottoinsieme non vuoto di N limitato superiormente ha massimo. Proprietà archimedea.
  Assiomatica di R - parte II

• Settimana 5 [11/4/16] Definizione degli interi Z e proprietà fondamentali (tra due interi consecutivi non ci sono altri interi, teoremi del minimo e massimo).
  Esercizio 5 Dimostrare i punti da (i) a (iv) dell'Osservazione 21 del file "Assiomatica di R - parte II".
  Lezione 10 [12/4/16] Definizione dei razionali Q e proprietà fondamentali: Q è un campo totalmente ordinato non completo.
  Esercizio 6 Dimostrare che D={x ∈ R | x > 0 e x² < 2 } è non vuoto, limitato superiormente e che il suo estremo superiore s verifica s²=2.

• Settimana 6 [18/4/16] Densità dei razionali in R (Proposizione 27 del file "Assiomatica di R - parte II").
  Esercizio 7 Dimostrare che se r < s sono numeri razionali, esiste x irrazionale tale che r < x < s.
  [Suggerimento: cercare x della forma (j √ 2) / N con N naturale e j intero.]
  Il teorema di ricorrenza

• Settimana 7 [26/4/16] Una lezione sulle frazioni continue.

• Settimana 8 [2/5/16] Definizione di limite (finito e infinito) per successioni a valori reali.
  Modulo di un numero reale; distanze e disuguaglianza triangolare.
  Esempi di successioni regolari (convergenti o tendenti a infinito); esempi di successioni non convergenti.
  Teorema Per ogni x ≥ 0, esiste un unico y ≥ 0 tale che yⁿ= x; tale y si denota con ⁿ√x o con x^1/n.
  Fattorizzazione di xⁿ - yⁿ; unicità delle radice ennesime; proprietà delle radici ennesime (prodotto di radici, reciproci, etc.).
  Lemma di Bernoulli (dimostrazione per induzione). Limite di xⁿ al variare di x. Somma geometrica di ragione x; serie geometrica di ragione x con |x|<1.
  Successioni e serie (E. Giusti)
  Esercizio 8 Dimostrare che (2+n)/(1+n) tende ad 1; dimostrare che il limite di 1+(-1)ⁿ non esiste.
  Esercizio 9 Dimostrare (per induzione su m) che (aⁿ)^m=(a^m)ⁿ (n,m numeri interi non negativi).
  Esercizio 10 Dimostrare che, per x ≥ 0 e y > 0, si ha (x/y)^1/n = x^1/n/y^1/n.

• Settimana 9 [9/5/16] Se una serie ∑ a_n converge allora lim a_n = 0. Divergenza della serie ∑ 1/√ n.
  Una serie a termini positivi o converge o diverge a + ∞. Criterio del confronto per serie a termini positivi. Serie di Mengoli. La funzione (serie) ζ(s)= ∑ 1/n^s di Riemann.
  Teorema Se s è reale la serie di Riemann converge se e solo se s > 1. (Dimostrazione col metodo di Cauchy basato su raggruppamenti di 2^k termini).

• Settimana 10 [16/5/16] Corrispondenze biunivoche tra insiemi. Insiemi finiti (un insieme non vuoto è finito se è in corrispondenza biunivoca con l'insieme F_n= { 1,...,n } per un qualche n ∈ N. Essere in corrispondenza biunivoca è una relazione d'equivalenza. Un insieme non vuoto è finito se e solo se esistono a₁, ..., a_n (con a_i ≠ a_j se i ≠ j) tali che A = { a₁,...,a_n }.
  Teorema Sia A un sottoinsieme non vuoto di un insieme B finito. Allora, A è finito e se B = { b₁,...,b_n } (con b_i ≠ b_j se i ≠ j) e A = { a₁,...,a_m } (con a_i ≠ a_j se i ≠ j), allora m ≤ n, dove l'uguaglianza vale solo se A=B .
  Dal teorema segue che se A è finito allora esiste un unico n tale che A = { a₁,...,a_n }, con a_i ≠ a_j se i ≠ j; tale n prende il nome di cardinalità di A. Se A è l'insieme vuoto definiamo 0 la sua cardinalità.
  Un insieme si dice numerabile se è in corrispondenza biunivoca con N. N₀ e Z sono numerabili. Se F_i (con i ∈ N) sono insiemi finiti non vuoti a due a due disgiunti allora ∪_i F_i è numerabile. Q è numerabile. R non è numerabile.
  

Appunti (presi in aula dallo studente Tommaso Olivieri)
• Appunti.1 (settimana 1)
• Appunti.2 (settimana 2)
• Appunti.3 (settimana 3)
• Appunti.4 (settimana 4)
• Appunti.5 (settimana 5)
• Appunti.6 (settimana 6)
• Appunti.8 (settimana 8)
• Appunti.9 (settimana 9)
• Appunti.10 (settimana 10)

Esami

I appello : 24/5/16

II appello : 21/6/16

III appello : 4/7/16

Bibliografia
[O] John M.H. Olmsted The Real Number System , 1962, 216 pages
[C] Cantor, G. , Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen, Mathematische Annalen, vol. 5, pp. 123-132 (1872)
[D1] Dedekind, Richard , Essays on the Theory of Numbers. Open Court Publishing Company, Chicago, 1901.
[D2] J.W.R. Dedekind , Scritti sui fondamenti della matematica, a cura di F. Gana, pp. 160, BIBLIOPOLIS, EDIZIONI DI FILOSOFIA E SCIENZA, 1982
[F1] Solomon Feferman , The development of programs for the foundations of mathematics in the first third of the 20th century. (1993). Appears in translation as "Le scuole di filosofia della matematica" in Storia della scienza (S. Petruccioli, ed.) Istituto della Enciclopedia Italiana, 10 v., 2001-2004, v. VIII (2004) 112-121.
[F2] Solomon Feferman, What's special about mathematical proofs?, Remarks for the Williams Symposium on Proof, University of Pennsylvania, Nov. 9, 2012.
[G1] Giusti, E., Piccola storia del calcolo infinitesimale dall'antichità   al Novecento, Ist. Editoriali e Poligrafici, 2007 - 100 pagine. [ Cap 7 (Teoria dei num. reali ...) ]
[HW] Hardy, Godfrey Harold; Wright, E. M. (1979) [1938], An introduction to the theory of numbers (Fifth ed.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853170-8; 978-0-19-853171-5
[K] Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times ( 3 Volumes). Oxford University Press, USA | 1972-09-29 | ISBN:0195014960 | 1256 pages
[M] Masi, Alessandro, On the analytical foundations of real numbers and the didactics of Analysis , Tesi Magistrale Roma Tre, AA 2007-2008.
[R] Rudin, W., Principi di analisi matematica, Milano 1991