Complementi di Meccanica Analitica
AA 2014-2015 - II Semestre (Docente: Alessandro Giuliani)
- Programma
- Diario delle Lezioni
- Orari
- Bibliografia
- Esami ed Esoneri
- Diario delle Lezioni
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Lezioni 1 e 2 [23/2/2015] Richiami su esistenza, unicità e prolungabilità di soluzioni di sistemi di equazioni differenziali ordinarie: il teorema di Cauchy, non unicità per equazioni non Lipschitziane, prolungamento di una soluzione, esistenza del prolungamento massimale.
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Lezioni 3 e 4 [27/2/2015] Comportamento della soluzione ai bordi del dominio di esistenza massimale. Teorema delle stime a priori. Esistenza globale della soluzione alle equazioni di Newton con potenziale limitato dal basso. Esistenza globale per equazioni lineari con coefficienti dipendenti dal tempo. Sistemi lineari: il caso non diagonalizzabile. Alcuni complementi sulla forma canonice di Jordan sono disponibili qui.
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Lezioni 5 e 6 [2/3/2015] Soluzione di sistemi lineari di equazioni differenziali nel caso non-diagonalizzabile: esempi. L'oscillatore armonico smorzato: caso diagonalizzabile (sub- e super-critico) e caso non-diagonalizzabile (critico).
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Lezioni 7 e 8 [6/3/2015] L'oscillatore armonico smorzato: descrizione grafica del moto nello spazio reale e nello spazio delle fasi. L'oscillatore armonico smorzato e forzato. Struttura della soluzione generale (soluzione particolare + soluzione generale dell'omogenea). Ricerca della soluzione particolare nel caso di forzante cosinusoidale: soluzione con gli esponenziali complessi, risonanza.
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Lezioni 9 e 10 [9/3/2015] L'oscillatore armonico smorzato e forzato nel caso di forza periodica generale. Serie di Fourier con gli esponenziali complessi, ricerca della soluzione particolare per serie. Risonanza parametrica: introduzione.
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Lezioni 11 e 12 [13/3/2015] Risonanza parametrica: l'operatore di evoluzione (propagatore), teorema di Liouville, condizione di instabilità in termini della traccia del propagatore su un periodo.
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Lezioni 13 e 14 [16/3/2015] Risonanza parametrica: calcolo del propagatore in serie (espansione di Duhamel), convergenza della serie, verifica della soluzione.
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Lezioni 15 e 16 [20/3/2015] Risonanza parametrica: calcolo della traccia per serie, costruzione della frontiera di stabilità nell'intorno della risonanza ω0=ω/2, diagramma di fase nel piano di ascissa (ω0/ω) e ordinata ε.
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Lezioni 17 e 18 [23/3/2015] Proprietà ergodiche dei moti quasi-periodici: introduzione. Moto unidimensionale quasi-periodico a due frequenze. Descrizione come moto rettilineo uniforme sul toro bidimensionale. Riempimento denso del toro.
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Lezioni 19 e 20 [27/3/2015] Frequenze di visita del moto quasi-periodico irrazionale sul toro. Digressione: la serie di Fourier per funzioni multiperiodiche sul toro. Le medie temporali coincidono con le medie spaziali: dimostrazione prima per funzioni C∞, e poi per funzioni misurabili (usando l'approssimabilità delle funzioni misurabili con funzioni C∞). Ergodicità del moto quasi-periodico irrazionale sul toro e definizione generale di sistema dinamico metrico ergodico.
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Lezioni 21 e 22 [10/4/2015] Ancora sull'ergodicità: definizione alternativa in termini della fattorizzazione asintotica della probabilità di due eventi congiunti. Dimostrazione dell'equivalenza tra le due definizioni.
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Lezioni 23 e 24 [13/4/2015] Sistemi dinamici mescolanti. Un esempio di sistema caotico e mescolante: il gatto di Arnold. Calcolo degli esponenti di Lyapunov e dimostrazione della proprietà di mescolamento.
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Lezioni 25 e 26 [17/4/2015] Ancora sui sitemi caotici: definizione generale di esponente di Lyapunov. Considerazioni generali sulla natura qualitativa del moto in sistemi integrabili, quasi-integrabili e non-integrabili. Transizione al caos in meccanica classica. Introduzione ai fenomeni di diffusione in meccanica classica.
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Lezioni 27 e 28 [20/4/2015] Diffusione in meccanica classica. La sezione d'urto differenziale. La sezione d'urto su sfera dura. Introduzione alla diffusione di Coulomb (o Rutherford).
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Lezioni 29 e 30 [27/4/2015] Diffusione Rutherford: conlusione del calcolo della sezione d'urto. Il corpo rigido: richiami sulle definizioni e sulle proprietà cinematiche e dinamiche fondamentali (energia cinetica, momenti e assi d'inerzia, quantità di moto, momento angolare, equazioni cardinali nel caso generale e nel caso di accelerazione gravitazionale costante). Equazioni di Eulero.
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Lezioni 31 e 32 [4/5/2015] Angoli di Eulero. Soluzione per quadrature del moto di un corpo rigido simmetrico (I1= I2) libero di ruotare attorno al baricentro.
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Lezioni 33 e 34 [8/5/2015] Il corpo rigido libero di ruotare attorno al baricentro nel caso generale I1 I2 I3: soluzione per quadrature del moto.
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Lezioni 35 e 36 [11/5/2015] La trottola simmetrica pesante: soluzione per quadrature del moto.
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Lezioni 37 e 38 [15/5/2015] Variabili azione-angolo in meccanica Hamiltoniana: il caso dei sistemi meccanici unidimensionali e dell'oscillatore armonico. Il teorema di Arnold-Liouville (solo enunciato).
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Lezioni 39 e 40 [18/5/2015] Variabili azione-angolo per i moti in campo centrale.
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Lezioni 41 e 42 [22/5/2015] Variabili azione-angolo per il problema dei due corpi in campo gravitazionale. Variabili Kepleriane. L'Hamiltoniana del problema dei tre corpi ridotto (sistema Sole-Mercurio-Giove). La velocità media di precessione del perielio dell'orbita di Mercurio.
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Lezioni 43 e 44 [25/5/2015] Ancora sul calcolo della velocità media di precessione del perielio dell'orbita di Mercurio: espressione della perturbazione nel problema dei tre corpi ristretto in termini delle variabili azione-angolo del problema di Keplero. Relazione tra l'anomalia eccentrica e l'anomalia media. Calcolo dell'anomalia eccentrica in funzione dell'anomalia media in serie di potenze nell'eccentricità. Cenni storici al calcolo della precessione del perielio di Mercurio.
Diario delle Lezioni
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Foglio di esercizi proposti [1] Esercizi.
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Foglio di esercizi proposti [2] Esercizi.
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Foglio di esercizi proposti [3] Esercizi.
Esercizi proposti
- Lunedì ore 14-16 [aula F].
- Venerdì ore 14-16 [aula C].
Orari
Esami ed Esoneri
Modalità: Esame scritto e orale. I primi due appelli si terranno a Giugno-Luglio 2015. Durante il corso si terranno due esoneri, il superamento dei quali permetterà di accedere all'esame orale senza dover svolgere l'esame scritto. Il primo esonero avrà una modalità standard (esame scritto in classe), mentre il secondo consisterà in un esercizio da svolgere a casa, e da restituire al docente entro un giorno concordato. L'orale potrà consistere in una tesina, a scelta tra quelle proposte, elencate sotto.
- Primo esonero [30/3/2015] (testo, soluzioni, risultati).
- Secondo esonero [26/5/2015] (testo). Consegna prevista: entro l'8 giugno 2015 ore 12:30 (risultati).
- Primo scritto [8/6/2015] (testo, soluzioni, risultati)
- Secondo scritto [13/7/2015] (testo, soluzioni).
- Terzo scritto [11/9/2015] (testo, soluzioni).
- Risonanza parametrica
- Riempimento denso del toro nei moti quasi-periodici irrazionali: tempi di convergenza e frazioni continue.
- Sistemi dinamici metrici, ergodici e mescolanti. Il teorema di Birkhoff.
- Il modello di Lorenz
- Diffusione in meccanica classica
- Un modello microscopico di corda vibrante: sistemi di oscillatori accoppiati
- Il corpo rigido leggero e pesante: integrabilità per quadrature
- Principi variazionali in meccanica Hamiltoniana. Il principio di Maupertuis e il calcolo delle geodetiche su superfici curve (a metrica scalare non costante). Geometrie non euclidee.
- Sistemi integrabili per quadrature e variabili azione-angolo.
- Teoria delle perturbazioni canonica e teorema KAM
- [Ga] G. Gallavotti, Meccanica Elementare, ed. P. Boringhieri, Torino, 1986, p. 1-536, disponibile online in versione inglese qui (pdf, djvu).
- [GBG] G. Gallavotti, F. Bonetto, G. Gentile Aspects of the ergodic, qualitative and statistical theory of motion, Springer-Verlag 2004, disponibile online qui (pdf).
- [LL] L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Meccanica, Editori Riuniti, Roma, 1976.
- [Ar] V.I. Arnol’d, Metodi Matematici della Meccanica Classica, Editori Riuniti, Roma, 1979.
- [Ge] G. Gentile, Introduzione ai Sistemi Dinamici: 1 e 2, disponibili online qui.
Testi consigliati
Ultima modifica 11/9/2015