Meccanica Analitica
AA 2014-2015 - II Semestre (Docente: Alessandro Giuliani / Tutore: Giovanni Antinucci)
- Programma
- Diario delle Lezioni
- Esercitazioni
- Orari
- Bibliografia
- Esami ed Esoneri
- Diario delle Lezioni
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Lezioni 1 e 2 [16/2/2015] Equazioni di Newton. Forze posizionali e conservative. Condizioni necessarie e sufficienti affinché un sistema di forze sia conservativo. Grandezze conservate e integrali primi. Conservazione dell'energia meccanica.
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Lezioni 3 e 4 [18/2/2015] Alcuni esempi elementari di sistemi meccanici risolubili: forza costante, oscillatore armonico. Sistemi di equazioni differenziali lineari accoppiate: il caso diagonalizzabile (nei complessi).
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Lezioni 5 e 6 [20/2/2015] Ancora sui sistemi lineari (caso diagonalizzabile): esempi. Stabilità nei sistemi lineari. La stabilità alla Ljapunov: definizione.
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Lezioni 7 e 8 [23/2/2015] Sistema dinamico linearizzato. Il criterio di stabilità lineare. Esempi.
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Lezioni 9 e 10 [27/2/2015] Instabilità dei punti di massimo proprio del potenziale per sistemi meccanici conservativi: il caso uni-dimensionale e il caso multi-dimensionale (richiami: matrice Hessiana e matrici strettamente definite negative/positive). Funzioni di Ljapunov e teorema di Ljapunov. Teorema di Dirichlet. Introduzione al pendolo matematico.
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Lezioni 11 e 12 [2/3/2015] Il pendolo matematico: analisi qualitativa del moto, studio delle curve di livello e soluzione per quadrature del moto. Alcune animazioni che descrivono il moto del pendolo nello spazio fisico e nel piano delle fasi sono disponibili qui.
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Lezioni 13 e 14 [6/3/2015] La doppia buca: analisi qualitativa del moto, studio delle curve di livello, soluzione per quadrature del moto, soluzione esplicita del moto sulla separatrice. Alcune animazioni che descrivono il moto nel problema della doppia buca nello spazio fisico e nel piano delle fasi sono disponibili qui.
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Lezioni 15 e 16 [9/3/2015] Moti in campo centrale: problema a due corpi e a un corpo. Riduzione del problema a due corpi a quello a un corpo. Coordinata del baricentro, coordinata relativa, massa ridotta. Conservazione dell'energia meccanica e del momento angolare.
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Lezioni 17 e 18 [13/3/2015] Soluzione per quadrature del moto in campo centrale. Riduzione al piano ortogonale al momento angolare, coordinate polari sul piano. Soluzione del moto radiale e di quello angolare. Equazione della traiettoria.
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Lezioni 19 e 20 [16/3/2015] Natura del moto complessivo per i moti in campo centrale: moti periodici circolari uniformi e moti quasi-periodici. Il moto in campo gravitazionale (parte 1): moti a energia negativa, calcolo del periodo del moto radiale.
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Lezioni 21 e 22 [20/3/2015] Il moto in campo gravitazionale (parte 2): calcolo del periodo del moto angolare, calcolo della traiettoria, dimostrazione delle leggi di Keplero. Commenti sul problema degli n corpi e sul teorema di Bertrand.
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Lezioni 23 e 24 [23/3/2015] Introduzione alla meccanica Lagrangiana: spazio dei moti, variazioni di un moto, azione Lagrangiana, condizione di stazionarietà dell'azione Lagrangiana. La soluzione delle equazioni di Eulero-Lagrange rende stazionaria l'azione.
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Lezioni 25 e 26 [27/3/2015] Equivalenza tra la condizione di stazionarietà dell'azione Lagrangiana e le equazioni di E-L. Lagrangiane meccaniche (energia cinetica − energia potenziale) ed equazioni di E-L corrispondenti (equazioni di Newton). Il principio di minima azione per Lagrangiane meccaniche.
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Lezioni 27 e 28 [30/3/2015] Invarianza della condizione di stazionarietà e covarianza delle equazioni di Newton. Vincoli olonomi bilateri: condizione di regolarità e di indipendenza. Coordinate adattate al vincolo. Vincoli ideali matematici: il principio di D'Alembert (o dei lavori virtuali). Stazionarietà dei moti soggetti a un vincolo ideale.
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Lezioni 29 e 30 [10/4/2015] Un esempio di sistema Lagrangiano con vincolo dipendente dal tempo: il pendolo matematico su piano rotante. Energia generalizzata per Lagrangiane indipendenti dal tempo.
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Lezioni 31 e 32 [17/4/2015] Variabili cicliche e metodo di Routh. Simmetrie e leggi di conservazione: il teorema di Noether. Invarianza per traslazioni e conservazione della quantità di moto. Invarianza per rotazioni e conservazione del momento angolare.
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Lezioni 33 e 34 [20/4/2015] Cambiamenti di sistema di riferimento: legge di trasformazione delle coordinate e delle velocità. Vettore velocità angolare del sistema di riferimento mobile.
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Lezioni 35 e 36 [22/4/2015] Cambiamenti di sistema di riferimento: legge di trasformazione delle accelerazioni e forze fittizie. Un esempio notevole: il pendolo di Foucault (parte 1).
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Lezioni 37 e 38 [27/4/2015] Il corpo rigido: definizione e calcolo delle grandezze cinematiche: energia cinetica, quantità di moto e momento angolare. La matrice d'inerzia: momenti e assi principali d'inerzia del corpo rigido.
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Lezioni 39 e 40 [29/4/2015] La dinamica del corpo rigido: derivazione delle equazioni cardinali con il principio di D'Alembert. Le equazioni cardinali in un campo gravitazionale costante. Le equazioni di Eulero.
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Lezioni 41 e 42 [6/5/2015] Grandezze conservate per le equazioni di Eulero. Natura qualitativa del moto di rotazione libera di un corpo rigido attorno al baricentro: il caso della trottola sferica (I1=I2=I3), del rotatore (I1=I2 e I3=0) e della trottola simmetrica (I1=I2). Cenni al caso generale. Moto di nutazione, precessione e rotazione propria.
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Lezioni 43 e 44 [8/5/2015] Introduzione alla meccanica Hamiltoniana: Lagrangiane regolari, momenti coniugati e funzione di Hamilton (Hamiltoniana). Equazioni di Hamilton. Trasformata di Legendre. Il campo vettoriale Hamiltoniano è a divergenza nulla: teorema di Liouville.
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Lezioni 45 e 46 [11/5/2015] Parentesi di Poisson: anticommutatività, (multi-)linearità, regola di Leibniz, identità di Jacobi. Integrali primi e parentesi di Poisson. La parentesi di Poisson di due integrali primi è integrale primo (teorema di Poisson). Il principio variazionale di Hamilton.
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Lezioni 47 e 48 [14/5/2015] Forma differenziale di Poincaré-Cartan. Invariante integrale di Poincaré-Cartan. Trasformazioni canoniche: funzioni generatrici di prima, seconda, terza e quarta specie.
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Lezioni 49 e 50 [18/5/2015] Equazione di Hamilton-Jacobi. Un esempio di sistema Hamiltoniano unidimensionale risolto canonicamente con l'equazione di H-J.
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Lezioni 51 e 52 [22/5/2015] Condizione necessara e sufficiente perché una trasformazione sia canonica: la matrice Jacobiana deve essere simplettica. Conservazione delle parentesi di Poisson fondamentali. Esempi: il flusso Hamiltoniano definisce una trasformazione canonica.
Diario delle Lezioni
- Tutorati 1 e 2 [25/2/2015] Sistemi di equazioni differenziali lineari. Stabilità in sistemi meccanici unidimensionali (esercizi, soluzioni).
- Tutorati 3 e 4 [4/3/2015] Sistemi meccanici unidimensionali: studio qualitativo e soluzione per quadrature (esercizi, soluzioni).
- Tutorati 5 e 6 [11/3/2015] Ancora sui sistemi meccanici unidimensionali: studio qualitativo, stabilità dei punti di equilibrio, piccole oscillazioni (esercizi, soluzioni).
- Tutorati 7 e 8 [18/3/2015] Moti in campo centrale: studio qualitativo, e soluzione per quadrature (esercizi, soluzioni).
- Tutorati 9 e 10 [25/3/2015] Principio variazionale e equazioni di Eulero-Lagrange: la brachistocrona e la catenaria (esercizi; la soluzione dei primi due esercizi è la stessa di quella del tutorato dell'8/11/2013 del corso di FM210 A.A.2013/14 e potete trovarla qui − si noti solo la convenzione differente sull'orientazione dell'asse verticale; la soluzione dell'esercizio 3 è la stessa di quella dell'esercizio 3 del tutorato del 29/11/2012 del corso di FM210 A.A.2012/13 e potete trovarla qui).
- Tutorati 11 e 12 [1/4/2015] Sistemi vincolati con vincoli ideali: formulazione Lagrangiana e equazioni di Eulero-Lagrange sul vincolo (esercizi, soluzione dell'esercizio 1; la soluzione dell'esercizio 2 è la stessa di quella dell'esercizio 4 dello scritto del 7-2-2014 del corso di FM210 A.A.2013/14 e potete trovarla qui; la soluzione dell'esercizio 3 è la stessa di quella dell'esercizio 1 del tutorato del 5-11-2013 del corso di FM210 A.A.2013/14 e potete trovarla qui).
- Tutorati 13 e 14 [8/4/2015] Prova pre-esonero: moti unidimensionali vincolati e moti in campo centrale (esercizi, soluzioni).
- Tutorati 15 e 16 [15/4/2015] Moti Lagrangiani vincolati. Variabili cicliche, metodo di Routh (esercizi, soluzioni).
- Tutorati 17 e 18 [24/4/2015] Forze fittizie e cambiamenti di sistema di riferimento. Il pendolo di Foucault (parte 2). (esercizi, soluzioni).
- Tutorati 19 e 20 [4/5/2015] Corpo rigido: Momenti di inerzia, il teorema di Huygens-Steiner, problemi lagrangiani con corpi rigidi vincolati (esercizi, per le soluzioni vedere il tutorato 11 del corso di FM210 2013-14, disponibile qui).
- Tutorati 21 e 22 [15/5/2015] Meccanica Hamiltoniana: derivazione dell'Hamiltoniana dalla Lagrangiana, equazioni di Hamilton, trasformazioni canoniche, parentesi di Poisson (esercizi, soluzioni).
- Tutorati 23 e 24 [20/5/2015] Meccanica Hamiltoniana: equazioni di Hamilton, trasformazioni canoniche, variabili azione-angolo per l'oscillatore armonico. Corpi rigidi nel formalismo Lagrangiano: calcolo dei momenti di inerzia, pendolo fisico, rotazione libera attorno al centro di massa (esercizi, soluzioni).
- Tutorati 25 e 26 [25/5/2015] Seconda prova pre-esonero (testo, soluzioni).
Esercitazioni
- Lunedì ore 9-11 [aula C].
- Mercoledì ore 14-16 [aula C] (tutorato).
- Venerdì ore 9-11 [aula C].
Orari
Esami ed Esoneri
Modalità: Esame scritto e orale. I primi due appelli si terranno a Giugno-Luglio 2015. Durante il corso si terranno due esoneri, il primo nell'intorno della pausa pasquale, il secondo a fine Maggio 2015. Chi supererà con successo le due prove di esonero potrà accedere all'esame orale senza dover svolgere l'esame scritto. Per superare con successo le due prove di esonero è necessario ottenere almeno 16/30 in entrambe le prove, e una media di almeno 18/30. Chi avrà superato una sola prova di esonero con almeno 18/30, potrà sostenere l'esame scritto solo per la parte relativa all'esonero non superato con successo. Una volta superati gli esoneri o l'esame scritto, l'orale potrà essere sostenuto entro la sessione di Febbraio 2016.
Note:
1) Per coloro che vogliono sostenere lo scritto allo scopo di migliorare il voto dell'esonero: gli esoneri perderanno valore al momento della consegna al docente dell'esame svolto.
2) Chi non dovesse superare l'orale dovrà ripetere l'esame scritto.
- Primo esonero [13/4/2015] (testo, soluzioni, risultati).
- Secondo esonero [29/5/2015] (testo, soluzioni, risultati).
- Primo scritto [12/6/2015] (testo, soluzioni, risultati).
- Secondo scritto [10/7/2015] (testo, soluzioni, risultati).
- Terzo scritto [7/9/2015] (testo, soluzioni, risultati).
- Quarto scritto [14/12/2015] (testo, soluzioni, risultati).
- [Ga] G. Gallavotti, Meccanica Elementare, ed. P. Boringhieri, Torino, 1986, p. 1-536, disponibile online in versione inglese qui (pdf, djvu).
- [LL] L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Meccanica, Editori Riuniti, Roma, 1976.
- [Ar] V.I. Arnol’d, Metodi Matematici della Meccanica Classica, Editori Riuniti, Roma, 1979.
- [Ge] G. Gentile, Introduzione ai Sistemi Dinamici: 1 e 2, disponibili online qui.
Testi consigliati
Ultima modifica 15/12/2015