MATEMATICA I (CdL Geologia)
AA 2019-2020 - I Semestre (Docente: Alessandro Giuliani)
Diario delle lezioni
Lezioni 1 e 2 [30/9/2019] Introduzione all'uso della matematica nelle scienze naturali: organizzare e analizzare statisticamente i dati; descrivere le relazioni tra grandezze in termini di funzioni; modellizzare il fenomeno. Esempi: la legge di Boyle e il moto di un grave. Insiemi: definizione, proprietà fondamentali, operazioni e relazioni tra insiemi. Prodotto cartesiano.
Lezioni 3 e 4 [1/10/2019] Insiemi numerici. I numeri naturali: chiusura rispetto alle operazioni di somma e moltiplicazione. I numeri interi: chiusura rispetto alle operazioni di somma, sottrazione e moltiplicazione. I numeri razionali: chiusura rispetto alle operazioni di somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione. Rappresentazione decimale, approssimazione per eccesso e difetto, cifre significative, notazione scientifica. I numeri reali: chiusura rispetto all'estrazione di radici.
Lezioni 5 e 6 [2/10/2019] Potenza di un numero reale positivo a una potenza reale. Potenze con base negativa e numeri complessi. Definizione e proprietà elementari dei numeri complessi. Il teorema fondamentale dell'algebra; fattorizzazione di polinomi di grado qualsiasi. Rappresentazione geometrica dei numeri reali: l'asse cartesiano. Ordinamento dei numeri reali; la funzione modulo; intervalli e segmenti.
Lezioni 7 e 8 [7/10/2019] Il piano cartesiano. Rappresentazione geometrica di sottoinsiemi di R2. Segmenti orientati come vettori spostamento. Vettori nel piano e nello spazio: rappresentazione algebrica e geometrica. Grandezze scalari e grandezze vettoriali. Vettori in Rn.
Lezioni 9 e 10 [8/10/2019] Operazioni tra vettori: somma, sottrazione, moltiplicazione per scalare. Definizione algebrica e geometrica. Rappresentazione in coordinate polari dei vettori in R2. Un esempio: moto relativo di un'imbarcazione rispetto all'acqua e rispetto alla riva. Equazione parametrica di una retta passante per due punti del piano.
Lezioni 11 e 12 [9/10/2019] Ancora sulle equazioni parametriche di una retta passante per due punti: il caso tri-dimensionale; esempi. Combinazioni lineare di vettori. n-ple di vettori linearmente indipendenti. Basi di Rn, basi ortonormali, la base Euclidea standard. Caratterizzazione geometrica della (in)dipendenza lineare per coppie di vettori in R2 e terne di vettori in R3. Esempi.
Lezioni 13 e 14 [14/10/2019] Prodotto scalare: definizione algebrica e geometrica. Casi particolari: vettori paralleli, antiparalleli e ortogonali. Applicazioni: proiezioni di un vettore lungo la direzione definita da un secondo vettore; lavoro di una forza; equazione cartesiana di una retta. Esempi.
Lezioni 15 e 16 [15/10/2019] Prodotto vettoriale: definizione algebrica e geometrica. Il caso di due vettori sul piano xy. Applicazioni: velocità di un punto in un solido rotante, la forza di Lorentz, la forza di Coriolis. L'area del triangolo con vertici assegnati in R3. Esempi.
Lezioni 17 e 18 [16/10/2019] Ancora esempi su prodotto scalare e vettoriale. Funzioni lineari da R2 a R2; omotetie, riflessioni, rotazioni. Rappresentazione delle funzioni lineari in termini di matrici. Prodotto righe per colonne.
Lezioni 19 e 20 [21/10/2019] Il prodotto tra matrici non è commutativo. Esempi per matrici 2x2 e 3x3. Potenza intera di una matrice. La matrice identità. Matrici diagonali. La matrice trasposta. Algebra delle matrici: somma, moltiplicazione per scalare e prodotto. Risolvere un sistema lineare con il formalismo matriciale.
Lezioni 21 e 22 [22/10/2019] Ancora sulla risoluzione di sistema lineari con il formalismo matriciale. La matrice inversa di una matrice 2x2. Determinante di una matrice 2x2. Invertibilità. Caratterizzazione della matrice inversa. Determinante delle matrici 3x3 e nozione di inversa per matrici 3x3. Proprietà dei determinanti (ad es., il determinante del prodotto è uguale al prodotto dei determinanti).
Lezioni 23 e 24 [23/10/2019] Autovalori, autovettori e autodirezioni. Equazione secolare e polinomio caratteristico. Calcolo degli autovalori e autovettori per matrici 2x2. Esempi.
Lezioni 25 e 26 [28/10/2019] Ancora su autovalori e autovettori. Calcolo degli autovalori e autovettori per matrici 3x3. Diagonalizzabilità e procedura di diagonalizzazione (esempi per matrici 2x2). Un breve compendio su autovalori, autovettori e diagonalizzabilità è disponibile qui.
Lezioni 27 e 28 [29/10/2019] La nozione di funzione, dominio, codominio, grafico. Funzioni reali di variabile reale. Equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, rappresentazione grafica. Composizione di funzioni. Funzioni monotone crescenti e decrescenti (e strettamente crescenti/decrescenti).
Lezioni 29 e 30 [30/10/2019] Codominio e immagine. Funzioni biunioviche o invertibili. La funzione inversa. Stretta monotonia e invertibilità.
Lezioni 31 e 32 [11/11/2019] Ancora su invertibilità e monotonia: un esempio di funzione invertibile ma non monotona. Funzioni definite a tratti e con discontinuità di salto. Traslazioni di grafici in orizzontale e verticale. Funzioni pari e dispari. Richiami su proprietà e grafici di funzioni elementari: le funzioni potenza.
Lezioni 33 e 34 [12/11/2019] Ancora sui grafici delle funzioni potenza: dominio di definizione, comportamento qualitativo, funzioni inverse. Richiami sulle funzioni trigonometriche seno e coseno: dominio di definizione e invertibilità, proprietà di parità, periodicità, funzioni inverse.
Lezioni 35 e 36 [13/11/2019] La funzione tangente: dominio di definizione e invertibilità, proprietà di parità, periodicità, funzione inversa. Esponenziali e logaritmi: proprietà fondamentali, dominio di definizione, invertibilità, funzione inversa. Comportamento ai bordi del dominio di definizione: cenni a limiti e asintoti.
Lezioni 37 e 38 [18/11/2019] Introduzione ai limiti: definizione ed esempi.
Lezioni 39 e 40 [19/11/2019] Ancora sui limiti, esempi e discussione dei vari casi possibili: limite finito e infinito per x → ± ∞, limite finito e infinito per x → x0, limite destro e sinistro.
Lezioni 41 e 42 [25/11/2019] Interpretazione grafica dei vari casi possibili di limite (finito/infinito, x → ± ∞, x → x0, non esistenza del limite, ...). Asintoti orizzontali e verticali. Funzioni continue e discontinue. Discontinuità di salto. Cenni alla strategia generale per lo studio del grafico di funzioni.
Lezioni 43 e 44 [26/11/2019] Monotonia ed esistenza del limite. Algebra dei limiti: limite della somma, della differenza, del prodotto, del rapporto. Limite di funzioni composte. Forme indeterminate.
Lezioni 45 e 46 [27/11/2019] Ancora su forme indeterminate. Studio qualitativo del grafico di funzioni. Gerarchia di infiniti.
Lezioni 47 e 48 [2/12/2019] Gerarchia di infinitesimi. Ancora esempi su forme indeterminate. Il limite notevole limx→0 (sin x)/x=1.
Lezioni 49 e 50 [3/12/2019] I limiti notevoli limx→0 (1-cos x)/x2=1/2, limx→0 ln(1+x)/x=1, limx→0 (ex-1)/x=1. Esercitazione di ricapitolazione sui limiti.
Lezioni 51 e 52 [4/12/2019] Introduzione alle derivate: significato geometrico e meccanico. Rapporto incrementale, pendenza della retta secante. Definizione di derivata come limite del rapporto incrementale. Pendenza della retta tangente. Velocità istantanea. Equazione cartesiana della retta tangente al grafico della funzione in un punto. Derivate delle funzioni elementari: potenze, esponenziali, seno.
Lezioni 53 e 54 [9/12/2019] Regole di derivazione della somma, della differenza, del prodotto e del rapporto. Derivate delle funzioni elementari: coseno, tangente e logaritmo.
Lezioni 55 e 56 [10/12/2019] Regole di derivazione della funzione composta e delle funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari: arcoseno e arcocoseno. Esempi di derviazione di funzioni composte.
Lezioni 57 e 58 [11/12/2019] Derivate delle funzioni elementari: arcotangente, funzioni iperboliche (cosh, sinh, tanh) e la funzione iperbolica inversa arsinh. Non sempre le funzioni continue sono derivabili: l'esempio della funzione modulo. Funzioni derivabili più volte (o anche infinite volte): funzioni di classe Cn e di classe C∞. Relazione tra il segno della derivata e la stretta monotonia.
Lezioni 59 e 60 [16/12/2019] Ancora sulla relazione tra segno della derivata e monotonia. Massimi e minimi locali e globali. Esempi: un problema di ottimizzazione come ricerca del massimo globale; relazione tra forza e derivata dell'energia potenziale in meccanica.
Lezioni 61 e 62 [17/12/2019] Esempi: studi di grafico di funzione. La regola di De L'Hopital per il calcolo di limiti che producono forme indeterminate del tipo 0/0 o ∞/∞.
Lezioni 63 e 64 [18/12/2019] La formula di Taylor: espansione del primo e del secondo ordine. Lo sviluppo di Taylor di ordine generico. Il resto della formula di Taylor come `o piccolo'. Applicazioni della formula di Taylor: calcolo numerico dei valori di funzioni non elementari, approssimazioni di funzioni complesse con polinomi, risoluzione di limiti che producono forme indeterminate del tipo 0/0.
Lezioni 65 e 66 [7/1/2020] Relazione tra segno della derivata seconda e proprietà di concavità/convessità di una curva. Punti di flesso. Esempi ed esercizi di riepilogo.
Lezioni 67 e 68 [8/1/2020] Prova pre-esonero.
Fogli di esercizi
- Foglio di esercizi della prima settimana
- Foglio di esercizi della seconda settimana
- Foglio di esercizi della terza settimana
- Foglio di esercizi della quarta settimana
- Foglio di esercizi della quinta settimana
- Foglio di esercizi della sesta settimana
- Foglio di esercizi della settima-ottava settimana
- Foglio di esercizi della nona settimana
- Foglio di esercizi della decima settimana
- Foglio di esercizi della undicesima settimana
- Foglio di esercizi di riepilogo (23 dicembre 2019)
- Prova pre-esonero (8 gennaio 2020)
- Orario lezioni:
- - lunedì: 12:00 - 13:30, martedì: 10:15 - 11:45, mercoledì: 12:00 - 13:30 (Aula E)
- Ricevimento:
- - per appuntamento giuliani@mat.uniroma3.it
- - lunedì: 12:00 - 13:30, martedì: 10:15 - 11:45, mercoledì: 12:00 - 13:30 (Aula E)
Esami ed esoneri
- Primo Esonero (20/1/2020): Testo, risultati
- Recupero Primo Esonero (19/2/2020): Testo, risultati
- Scritto (24/6/2020): Testo
Testi consigliati
-
Testi principale di riferimento:
- [BEM] D. Benedetto, M. Degli Esposti, C. Maffei: Matematica
per le scienze della vita, Ed. Ambrosiana.
- [Ge] Lezioni di MATEMATICA - Modulo 1. Note del Prof. G. Gentile, disponibili online qui.
Testi di riferimento addizionali:- [MS] P. Marcellini, C. Sbordone: Elementi di Calcolo, Liguori Editore. In alternativa, degli stessi autori: Calcolo, Liguori Editori.
- [P] N. Piskunov: Calcolo differenziale e integrale , Vol. primo, Ed. riuniti.
Testi di esercizi:- [MSes] P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di matematica, vol. primo, parti prima e seconda, Ed. Liguori.
- [SS] S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Matematica - Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli.
- [D] B. P. Demidovic: Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti.
- [Ge] Lezioni di MATEMATICA - Modulo 1. Note del Prof. G. Gentile, disponibili online qui.
Ultima modifica 26/6/2020