ANALISI MATEMATICA I ( CdL Fisica)

AA 2008-2009 - I Semestre (L. Chierchia)

Esercitazioni: L. Chierchia, L. Biasco

Indice

Avvisi

Sito del corso AA 2007-2008

AVVISI

[19/2/09] La visione degli scritti e l'esame orale del secondo appello si terrà in aula 009 del Dipartimento di Matematica (piano terra), Largo San L. Murialdo 1, alle ore 10:00 di venerdì 20/2/09.

[17/2/09] L'esame di ELEMENTI DI ANALISI 1 (vecchio ordinamento, 6 CFU) si terrà la mattina del 18/2/09 in aula 4, Biologia, Viale Marconi 446 dalle 9:30 alle 11:00.

[16/2/09] ATTENZIONE (CAMBIO DI ORARIO): Il secondo appello di Analisi Matematica 1 si terrà mercoledì 16 febbraio dalle ore 14:30 alle 17:00 (in aula 4, Biologia, Viale Marconi 446).

[2/2/09] ATTENZIONE (CAMBIO DI ORARIO): L'orale del primo appello (incluso esoneri) si terrà mercoledì 4 febbraio ALLE ORE 15 (anziché alle 14) sempre in aula B3, edificio Aule, Largo San L. Murialdo 1

[30/1/09] L'orale del primo appello (incluso esoneri) si terrà mercoledì 4 febbraio alle 14 in aula B3, edificio Aule, Largo San L. Murialdo 1

[23/1/09] Dalle ore 14:30 alle 14:45 di martedì 27/1/09, prima dell'inizio del secondo esonero, verranno dati i questionari di valutazione (l'esonero durerà comunque 2 ore).

[15/1/09] Le lezioni termineranno martedì 20/1/09 (ve 16/1, lu 19/1 e ma 20/1 saranno esercitazioni).

Il secondo esonero verterà su:

limiti di funzioni
massimi e minimi
grafici di funzioni
calcolo di integrali (indefiniti, definiti)
integrali impropri
formula (e serie) di Taylor
numeri complessi

[18/12/08] Ultima lezione del 2008: venerdì 19/12/08 (ore: 10-12). A gennaio le lezioni riprenderanno l'8/1/2009 con il consueto orario.

[12/12/08] Lunedì 15/12/08 ci sarà un breve intervento di medici della ASL sul tema della "prevenzione AIDS" in aula B alle ore 10:00.

[25/11/08] La prossima settimana (1-5 dic) le lezioni di analisi matematica 1 seguiranno il seguente orario:
lunedì 1/12: normale (9:15-11:00)
martedì 2/12: 9:15-10:45 (senza intervallo)
mercoledì 3/12, in concomitanza con l'esonero di geometria, non ci sarà lezione
giovedì 4/12: 11:15-13:00 (Prof. Biasco)
venerdì 5/12: 10:15-12:00 (Prof. Biasco)

[14/11/08] CAMBIO ORARIO E AULA I ESONERO: il primo esonero fissato per lunedì 17/11/2008 è spostato (per motivi di spazio) in aula 4 (Biologia, Viale Marconi 446) ALLE ORE 14:30.

[4/11/08] ATTENZIONE (cambio di data per il primo esonero): il primo esonero è fissato per lunedì 17/11/2008 dalle 9:00 alle 11:00 in Aula B del Dipartimento di Fisica. L'esonero verterà principalmente su estremo superiore/inferiore, limiti, serie e conterrà, oltre ad esercizi, anche delle domande di "carattere teorico".

[28/10/08] Le lezioni di oggi 28/10/08, in seguito alla partecipazione degli studenti a proteste attive nei confronti della legge 133/08, si sono svolte (parzialmente) all'aperto a Largo Enea Bortolotti.

[28/10/08] Le lezioni/esercitazioni del 29, 30 e 31/10/08 (e del 27/10), per permettere la partecipazione ad iniziative di dissenso nei confronti della legge 133/08, sono rinviate e verranno recuperate entro il 23/1/09. Le lezioni/esercitazioni riprenderanno regolarmente lunedì 3/11/08.

[27/10/08] Le lezioni di oggi 27/10/08 non hanno potuto aver luogo in seguito all'autosospensione degli studenti di Fisica dalla didattica.

[20/9/08] L'ora di esercitazione (11:15-12) di venerdì 24/10 verrà anticipata alle 9:15-10 per permettere la partecipazione all'assemblea di Facoltà delle 11; l'ora di lezione (10:15-11) rimane invariata.

[9/9/08] Le lezioni avranno inizio lunedì 29/9/08

Orario lezioni:
- lunedì e mercoledì: 9:00 - 11:00 (Aula B, via della Vasca Navale 84)
- martedì e giovedì: 11:00 - 13:00 (Aula B, via della Vasca Navale 84)
- venerdì: 10:00 - 12:00 (Aula B, via della Vasca Navale 84)

Orario di ricevimento:
Lunedì 13:45-15:30 - Studio 210, Dipartimento di Matematica

Diario delle lezioni

Lezione 1 [29/9/08] Definizione assiomatica dei numeri reali R: i quindici assiomi algebrici.

Esercitazione 1 [29/9/08] Verifica, partendo dagli assiomi, delle proprietà elementari dei numeri reali (incluso: "cancellazioni", "regole dei segni", 0 a = 0).
Esercitazione 2 [30/9/08] Verifica, partendo dagli assiomi, delle proprietà elementari dei numeri reali (continuazione: segni e disuguaglianze; a² ≥ 0 per ogni a, 1>0).

Lezione 2 [30/9/08] Insiemi induttivi. Definizione dei numeri naturali N, degli interi Z e dei razionali Q. I naturali N soddisfano gli "assiomi" di Peano.
Lezioni 3 e 4 [1/10/08] Il teorema sul "principio di induzione". Proposizione: la somma di numeri naturali è un numero naturale; il prodotto di due numeri naturali è naturale; se n ∈ N e n < x < n+1, allora x non è un numero naturale. Ultimo assioma dei numeri reali: esistenza dell'estremo superiore per insiemi limitati superiormente non vuoti.
Lezione 5 [2/10/08] Caratterizzazione dell'estremo superiore. Un sottoinsieme di N non vuoto e limitato superiormente ammette massimo. Un sottoinsieme non vuoto di N ammette minimo. Per ogni x in R esiste n in N tale che n > x ("proprietà archimedea").

Esercitazione 3 [2/10/08] Disuguaglianza di Bernoulli (per induzione). Il simbolo di sommatoria. Somma geometrica (per induzione e prova diretta).
Complemento 1: Proprietà elementari di N
Esercitazione 4 [3/10/08] Gli interi Z sono chiusi rispetto all'opposto, la somma e il prodotto. I razionali Q soddisfano i quindici assiomi algebrici di R. Fattoriali e coefficienti binomiali. Formula del binomio di Newton; esempi.

Lezione 6 [3/10/08] La funzione parte intera. Teoremi: 1) Tra due numeri reali si trova sempre un (e quindi infiniti) razionale. 2) Non esiste alcun razionale r tale che r²=2.
Lezioni 7 e 8 [6/10/08] Se s e t sono numeri positivi allora s < t se e solo se sⁿ < tⁿ per ogni intero n. Se 0 < s < t e n > 1 è un intero allora tⁿ-sⁿ < (t-s) n t^n-1. Teorema: dato a > 0 e un intero n ≥ 1, esiste un unico b > 0 tale che bⁿ = a e tale numero è l'estremo superiore dell'insieme {x>0 tali che xⁿ < a }.
Dimostrazione del Teorema (da W. Rudin, Principles of Mathematical Anaysis)
Esercitazione 5 e 6 [7/10/08] Il modulo: definizione e proprietà fondamentali. Esercizi dal capitolo 2 di [GE]: par. 1 (disuguaglianze); par. 6 (induzione). Dimostrazione per induzione del binomio di Newton. Manipolazione con sommatorie finite.
Lezioni 9 [8/10/08] Polinomi di secondo grado. Definizione di funzione e grafico. Esempi: parte intera, parte frazionaria, modulo, polinomi, radici.
Esercitazione 7 [8/10/08] Estremo inferiore (definizione, relazione con l'estemo superiore, caratterizzazione). Esercizi da [GE] cap 2, par. 1 e par. 3. Calcolo approssimato di radici.
Esercitazioni 8 e 9 [9/10/08] Definizione di intervalli, successioni e limite di una successione. Esercizi da [GE] cap. 2, par. 3; cap 3, par. 1.
Lezione 10 [10/10/08] lim 1/n = 0; lim n = + ∞. Se A>0, allora lim A^1/n = 1.
Esercitazione 10 [10/10/08] Esercizi da [GE], cap 3. par. 1.
Lezione 11 [13/10/08] lim aⁿ = 0 se |a|<1, lim aⁿ = + ∞ se a > 1; se a ≤ -1, lim aⁿ non esiste. lim n^1/n = 1. Teorema: una successione convergente (ossia che ha limite reale) è limitata. Teorema della permanenza del segno.
Esercitazione 11 [13/10/08] Esercizio 2.2 p. 61, [G2].
Lezione 12 [14/10/08] Operazioni con i limiti (incluso casi con limite infinito). Se a_n → L allora |a_n| → |L|.
Esercitazione 12 [14/10/08] Esercizio 4.4 p. 69, [G2]. Se 0 < a_n → 1 allora (a_n)^1/n → 1.
Esercitazioni 13 e 14 [15/10/08] Per ogni A > 1, lim n/Aⁿ=0. Per ogni A > 1 e per ogni intero p, lim n^p/Aⁿ=0. Trovare N tale che n⁴/ 2^n/4 < 1/10⁵ per ogni n ≥N. Trovare N e c > 0 tale che (n sopra 3) ≥ c n³, per ogni n ≥N. Esercizi da [GE], cap. 3, par. 1.
Lezioni 13 e 14 [16/10/08] Successioni monotòne. Se {a_n} è una successione crescente e limitata superiormente allora lim a_n=sup{a_n: n ∈ N}. La successione e_n:=(1 + 1/n)ⁿ è strettamente crescente e limitata superiormente; e:=lim e_n prende il nome di numero di Nepero. Se a>0 e r e s sono numeri razionali allora a^s+t= a^s a^t; (a^s)^t= a^st; se a > 1 e s > t allora a^s > a^t. Se {r_n} è una successione di numeri razionali tendente a 0 e a > 0 allora lim a^r_n=1. Se a > 0, x ∈ R e r_n una succesione di numeri reali tendente a x allora esiste il lim a^r_n e tale limite dipende solo da x (e non dalla successione {r_n}); tale limite è per definizione a^x.
Lezione 15 [17/10/08] Se a>0, x e y sono numeri reali allora a^x+y= a^x a^y; (a^x)^y= a^xy; se a > 1 e x > y allora a^x > a^y. Se {x_n} è una successione di numeri reali tendente a x e a > 0 allora lim a^x_n= a^x. Se a,b > 0 e x è un numero reale allora (ab)^x=a^x b^x.
Esercitazione 15 [17/10/08] Esercizi su limiti di successioni.
Lezione 16 [20/10/08] Se {a_n} è una successione di numeri reali positivi tendente a a > 0 e se x è un numero reale, allora lim a_n^x= a^x (continuità delle potenze). Se x ∈ R, allora lim (1 + x/n)ⁿ=e^x.
Esercitazione 16 [20/10/08] Esercizi su limiti di successioni.
Lezione 17 [21/10/08] Definizione di log_a x (con a > 1) come estremo superiore di {t: a^t < x}. Proprietà dei logaritmi (incluso cambio di base e continuità).
Esercitazione 17 [21/10/08] Esercizi su limiti di successioni da [GE]; limiti del tipo lim (1 + a/n^b)ⁿ.
Lezioni 18 e 19 [22/10/08] Definizione di serie. Esempi: la serie geometrica; Σ_{n ≥1} 1/(n (n+1))=1; Σ 1/n² < ∞. Serie a termini positivi: una serie a termini positivi o converge o diverge. Criteri di convergenza di serie a termini positivi: confronto; radice e rapporto. Teorema: se a_n > 0 e lim a_n+1/a_n = L, allora lim (a_n)^1/n=L [da dimostrare]. Se {a_n} è convergente allora è di Cauchy. Criterio necessario di convergenza di serie: se Σ a_n converge allora lim a_n=0. La serie armonica Σ 1/n diverge.
Esercitazioni 18 e 19 [23/10/08] (LB) Esercizi da [GE] su: inf/sup; limiti di successioni e serie a termini positivi.
Esercitazione 20 [24/10/08] Esercizi su limiti e serie. Se a_n converge a L (numero reale o + ∞ o - ∞) e se {n_k} è una successione a valori interi che tende ad infinito, allora lim_{k → ∞} a_{n_k} = L. Due limiti notevoli: (1) se 0 < a_n → ∞, se p ∈ R e se A > 1 allora lim a_n^p / A^a_n = 0; (2) se 0 < a_n → ∞, se p > 0 e se A > 1 allora lim log_A a_n / a_n^p = 0.
Lezione 20 [24/10/08] Teorema: se a_n > 0 e lim a_n+1/a_n = L (L ≥ 0 oppure L = ∞ ), allora lim (a_n)^1/n=L. Criterio di Leibnitz per la convergenza di serie a segni alterni.
Complemento 2: Dimostrazione del teorema.
Esercitazioni 21 e 22 [28/10/08] Esercizi su limiti e serie.
Lezioni 21 e 22 [3/11/08, 32 studenti in classe] Definizione di sottosuccessione (o successione estratta). Esempi. Definizione di massimo e minimi limite per successioni limitate e per successioni arbitrarie.

Lemma 1: Siano a e b numeri reali. Se per ogni ε >0 a ≤ b+ ε allora a ≤ b. Analogamente, se per ogni ε >0 a ≥ b- ε allora a ≥ b.

Lemma 2: Se lim a_n = + ∞, allora esiste una sottosuccesione {a_{n_k}} di {a_n} strettamente crescente che tende a + ∞.
Lezioni 23 e 24 [4/11/08, 36 studenti in classe] Proprietà elementari del massimo e minimo limite: (i) limsup a_n = ∞ (rispettivamente, - ∞) se e solo se la successione a_n non è limitata superiormente (inferiormente); (ii) liminf a_n ≤ limsup a_n; se a_n ≤ b_n, allora liminf a_n ≤ limsup b_n; limsup (a_n + b_n) ≤ limsup a_n + limsup b_n; liminf (a_n + b_n) ≥ liminf a_n + liminf b_n.

Lemma Se limsup a_n ∈ R, per ogni ε > 0 esiste N tale che a_n ≤ limsup a_n + ε per ogni n ≥ N. Se liminf a_n ∈ R, per ogni ε > 0 esiste N tale che a_n ≥ liminf a_n - ε per ogni n ≥ N.

Teorema Data una qualunque successione { a_n } valgono le seguenti affermazioni.
(i) Esiste a_{n_{k → limsup a_n;
esiste a_{m_{k → liminf a_n.

(ii) per ogni sottosuccessione convergente (o tendente a +/- ∞) a_{n_k} si ha che
liminf a_n ≤ lim a_{n_k} ≤ limsup a_n.

(iii) esiste lim a_n (incluso +/- ∞) se e solo se liminf a_n = limsup a_n
(ed in tal caso i loro valori coincidono).}}}}
Lezione 25 [5/11/08, 30 studenti in classe] Se a_n → a, allora a_{n_k} → a, per qualunque sottosuccessione a_{n_k}. Se {a_n } ha due sottosuccessioni che hanno limiti diversi allora {a_n} non ha limite. Teorema di Weierstrass: da ogni successione limitata è possibile estrarre una sottosuccessione convergente. Teorema di Cauchy: una successione è convergente se e solo se è una successione di Cauchy. Se una serie converge assolutamente, converge. Criterio di condensazione di Cauchy per serie a termini positivi. Applicazione alla serie armonica generalizzata.
Complemento 3: Sottosuccessioni. Massimo e minimo limite
Esercitazione 23 [5/11/08] Esercizi su massimo e minimo limite, limiti, serie.
Esercitazioni 24 e 25 [6/11/08] (LB) Esercizi su: inf/sup; limiti di successioni e studio di serie.
Lezione 26 [7/11/08, 30 studenti in classe] Definizione della funzione esponenziale exp(x) per serie. Per ogni reale x, exp(x)=e^x. Stime del resto esponenziale. Irrazionalità di e.
Complemento 4: Conituità delle potenze e del logaritmo. La serie esponenziale e due limiti notevoli.
Esercitazione 26 [7/11/08] Esercizi su limiti e serie.
Esercitazioni 27 e 28 [10/11/08] Esercizi su: inf/sup; limiti; massimo e minimo limite; serie.
Lezioni 27 e 28 [11/11/08, 32 studenti in classe] Due limiti notevoli: se 0 ≠ a_n → 0 allora (exp(a_n) - 1)/a_n → 1; log (1 + a_n)/a_n → 1. Definizione di seno e coseno per serie. Due limiti notevoli: se 0 ≠ a_n → 0 allora (sen a_n)/a_n → 1; (cos a_n -1 )/a_n² → -1/2.
Teorema (i) Per ogni x e y cos(x+y)=cos x cos y - sen x sen y; sen(x+y)=sen x cos y + cos x sen y.
(ii) esiste un numero 0 < α < 2 tale che cos α =0 e cos x > 0 per ogni 0 ≤ x < α. (solo enunciato: la dimostrazione verrà fatta in seguito).
Definizione: π = 2 α. Conseguenze del teorema: formule di duplicazione; sen² x+ cos²=1; valori speciali di seno e coseno; periodicità di seno e coseno.
Definizione delle funzioni iperboliche. Due limiti notevoli: se 0 ≠ a_n → 0 allora (senh a_n)/a_n → 1; (cosh a_n -1 )/a_n² → 1/2. Formule di addizione.
Complemento 5: Definizione di seno, coseno e pi greco.
Esercitazioni 29 e 30 [12/11/08] (LB) Esercizi su inf/sup; limiti di successioni e serie.
Lezione 29 [13/11/08, 28 studenti in classe] Definizione di continuità (per successioni). La somma e il prodotto di funzioni continue sono continue. I polinomi, le funzioni razionali, le potenze generalizzate, gli esponenziali, i logaritmi, le funzioni trigonometriche e iperboliche sono continue sul loro dominio di definizione. La funzione di Dirichlet è discontinua in ogni punto.
Esercitazione 31 [13/11/08] Esercizi su limiti e serie.
Esercitazioni 32 e 33 [14/11/08] Esercitazione in classe e correzione alla lavagna.
Lezione 30 [17/11/08, 28 studenti in classe] Punti di accumulazione (o punti limite) di un insieme di R. Definizione di limite per funzioni (tramite successioni). Osservazioni ed esempi.
Esercitazione 34 [17/11/08] Esempio di funzione definita su [0,1] con limite 0 per ogni x → x_o ∈ [0,1] e discontinua per x=1/n con n intero. Esercizi su limiti e serie.
Lezioni 31 e 32 [18/11/08, 30 studenti in classe] Continuità e limiti di funzioni con "epsilon e delta". Punti isolati e punti di accumulazione (caratterizzazione con intervalli). Esempio: la funzione f(x)=exp(-1/x²) per x ≠ 0 e f(0)=0 è continua su tutto R.
Esercitazioni 35 e 36 [20/11/08] (LB) Esercizi su limiti di funzioni.
Lezione 33 [21/11/08] Insiemi compatti per successioni. Esempi: [a,b] è compatto; (a,b] o (a,b) non è compatto; insiemi illimitati non sono compatti. Teorema di Weierstrass (una funzione continua su un compatto ammette massimo e minimo). Corollario: se f è continua su [a,b] allora f([a,b])=[m,M] dove m è il minimo dei valori di f e M è il massimo.
Esercitazione 37 [21/11/08] Svolgimento alla lavagna del primo esonero.
Lezioni 34 e 35 [24/11/08] Il modulo è una funzione continua. La composizione di funzioni continue è continua. L'immagine di un insieme compatto tramite una funzione continua è un insieme compatto. Funzioni iniettive e funzioni inverse. Una funzione continua e iniettiva su un compatto ha inversa continua. Se f è continua e iniettiva su I=(a,b) allora f(I) è un intervallo aperto (c,d). Se f è continua e iniettiva su I=[a,b] allora f(I)=[c,d] e f({a,b})={c,d}.
Lezione 36 [25/11/08, 30 studenti in classe] Se f è continua e inietiva su un intervalo I allora l'inversa è continua sull'intervallo f(I).
Elementi di topologia Insiemi aperti e insiemi chiusi. L'unione (arbitraria) di insiemi aperta è aperta; l'intersezione finita di insiemi aperti è aperta; l'intersezione (arbitraria) di insiemi chiusi è chiusa; l'unione finita di insiemi chiusi è chiusa. Esempi e controesempi.
Esercitazione 38 [25/11/08] Verifica delle regole standard su unione e intersezione di insiemi (associatività di unione e intersezione; A ∩ (B ∪ C)= (A ∩ B) ∪ (A ∩ C); A ∪ (B ∩ C)= (A ∪ B) ∩ (A ∪ C); leggi di De Morgan). Esempio di insieme aperto A=∪ I_n con I_n (al variare di n in N) intervallo aperto con le seguenti proprietà: ogni razionale di (0,1) è un centro di un I_n; Σ lunghezza(I_n) < 1/1000.
Lezione 37 [26/11/08] C è chiuso se e solo se per ogni successione {x_n} in C convergente, lim x_n appartiene a C. Gli insiemi compatti di R sono gli insiemi chiusi e limitati. Definizione di uniforme continuità. Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua. Definizione di derivata.
Esercitazione 39 [26/11/08, 26 studenti in classe] Calcolo diretto delle derivate di: f=cost; x; x²; xⁿ con n naturale; e^x; log x; √ x.
Esercitazioni 40 e 41 [27/11/08] (LB) Derivata di 1/x. Calcolo di derivate.
Lezione 38 [28/11/08 29 studenti in classe] Se f è derivabile in x allora è continua in x. Regole di derivazione per: somma, prodotto, composizione, inversa, reciproco, rapporto (con dimostrazione).
Esercitazione 42 [28/11/08] Derivazione delle formule di derivazione di seno e coseno dalle formule di addizione. Calcolo di derivate.
Lezioni 39 e 40 [1/12/08 28 studenti in classe] Dimostrazione della formula di derivazione per seno e coseno (dalla definizione di seno e coseno per serie). Derivata di x^a con a intero e x reale oppure a reale e x > 0. Derivata di tanh x e tan x. Derivata di arcsenh x.
Complemento 6: La derivata di seno e coseno
Lezioni 41 e 42 [2/12/08] Derivata di: arcosh, arctanh, arccotanh, arcsin, arcos, arctan, arccotan. Definizione di primitiva. Primitiva di combinazioni lineari; primitiva di f 'g ("integrazione per parti"); primitiva di fog g' ("cambio di variabile").
Esercitazioni 43 e 44 [4/12/08] (LB) Calcolo di primitive (integrali indefiniti).
Esercitazioni 45 e 46 [5/12/08] (LB) Calcolo di primitive (integrali indefiniti).
Lezioni 43 e 44 [9/12/08] Punti critici e massimi/minimi relativi. Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy. Funzioni monotone e segno della derivata.
Lezioni 45 e 46 [10/12/08] Definizione di retta. Retta per due punti. Rette secanti e retta tangente al grafico di una funzione derivabile. Una caratterizzazione "geometrica" della derivata; formula di Taylor al prim'ordine. Funzioni convesse (concave). Caratterizzazione della convessità per funzioni derivabili.
Lezione 47 [11/12/08] Caratterizzazione della convessità per funzioni derivabili due volte. L'equazione differenziale u"+u=0 (l'oscillatore armonico). Dimostrazione delle formule di addizione per le funzioni trigonometriche.
Complemento 7: Dimostrazione del Teorema 4 (Complemento 5) e grafici di seno e coseno
Esercitazioni 47 [11/12/08] Grafici di funzioni elementari.
Esercitazioni 48 e 49 [12/12/08] (LB) Calcolo di primitive (integrali indefiniti).
Lezioni 48 e 49 [15/12/08] Funzioni caratteristiche e funzioni semplici. Le funzioni semplici formano un'algebra (una combinazione lineare di funzioni semplici è semplice; il prodotto di due funzioni semplici è una funzione semplice). Definizione di integrale per funzioni semplici. Linearità e positività dell'integrale. Definizione di integrali superiori e inferiori; definizione di integrale secondo Riemann. La funzione caratteristica dei razionali in [0,1) non è integrabile secondo Riemann.
Lezione 50 [16/12/08] Caratterizzazione dell'integrabilità in termini di successioni di funzioni semplici. Una combinazione lineare di funzioni integrabili è integrabile; il prodotto di funzioni integrabili (secondo Riemann) è integrabile. Integrabilità su intervalli.
Esercitazione 50 [16/12/08] Dimostrare che f=[x] se -2,5 ≤ x < 2,5 e 0 altrimenti è una funzione semplice (scrivendone la rappresentazione standard) e calcolarne l'integrale. Grafici di 1/(1+x²) e di exp(-x²).
Lezione 51 [17/12/08] Additività dell'integrale. Le funzioni continue e limitate su [a,b] \ {d₁,...,d_n} sono integrabili. Le funzioni monotone e limitate su [a,b) sono integrabili.
Esercitazione 51 [17/12/08] Rappresentazione e integrazione di funzioni semplici. Esercizi su grafici, max e min.
Esercitazioni 52 e 53 [18/12/08] (LB) Calcolo di integrali indefiniti e definiti.
Lezioni 52 e 53 [19/12/08] Il teorema fondamentale del calcolo.
I teoremi di Bernoulli-de l'Hopital sui limiti delle forma indeterminate (tutti i casi).
Lezioni 54 e 55 [8/1/09] Polinomio di Taylor di grado n una funzione Cⁿ. Formula (teorema) di Taylor per funzioni Cⁿ. Resto R_n in forma integrale per funzioni Cⁿ⁺¹; formula di Cauchy per R_n.
Lezioni 56 e 57 [9/1/09] Formula di Lagrange per R_n nella fomula di Taylor. Formula e serie di Taylor per: e^x, sen x, cos x, 1/(1-x), 1/(1+x), 1/(1+x²), log(1-x), log(1+x), log[(1+x)/(1-x)], Arctan x, (1+x)^α (con α ≠ 0,1,2,...), (1-x)^-1/2, Arcsen x.
Lezione 58 [12/1/09] Integrali impropri. Criterio del confronto per funzioni positive. Criterio di integrabilità per funzioni che cambiano segno. Criterio per serie: sia f decrescente su [1,∞) allora f è integrabile su [1,∞) se e solo se converge la serie ∑_n≥1 f(n).
Esercitazione 54 [12/1/09] Esercizio 9.2 pag. 264 [G2].
Lezioni 59 e 60 [13/1/09] Per ogni punto (x_o,y_o) su S¹:={(x,y): x²+y²=1} esiste un unico t in [0, 2π) tale che x_o=cos t, y_o=sin t; tale t è la lunghezza dell'arco orientato in senso antiorario che unisce (1,0) con (x,y) su S¹.
Coordinate polari in R².
Distanza in R²: disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e disuguaglianza triangolare in R².

Complemento 8: Lunghezza di curve e proprietà geometriche di seno e coseno.
Complemento 9: Alcune proprietà di R²
Lezioni 61 e 62 [14/1/09] Il campo complesso: Il campo complesso: C:=(R²,+,*). Proprietà della somma e del prodotto complesso (in particolare: associatività del prodotto e proprietà distributiva). Reciproco. Unità immaginaria i=(0,1). Complesso coniugato e modulo o valore assoluto di un numero complesso. Immersione di R in C e rappresentazione standard z=(x,y)= x + i y. Prodotto complesso in coordinate polari. Successioni e serie complesse. Convergenza assoluta. Serie geometriche in C. La serie esponenziale exp(z). Formula di Eulero. Radici n-me dell'unità.
Lezione 63 [15/1/09 27 studenti in classe] Teorema di addizione per l'esponenziale complesso. Soluzioni di zⁿ=z_o. Teorema fondamentale dell'algebra (enunciato).

Complemento 10: Numeri complessi.
Esercitazione 55 [15/1/09] Esercizi su formula di Taylor e integrali impropri.
Esercitazioni 56 e 57 [16/1/09] (LB) Esercizi su: formula e serie di Taylor, grafici di funzioni, integrali (indefiniti, definiti e impropri), numeri complessi.
Esercitazioni 58 e 59 [19/1/09] (LB) Esercizi su: formula e serie di Taylor, grafici di funzioni, integrali (indefiniti, definiti e impropri), numeri complessi.
Esercitazioni 60 e 61 [20/1/09] (LB) Esercizi su: formula e serie di Taylor, grafici di funzioni, integrali (indefiniti, definiti e impropri), numeri complessi.

Esoneri ed esami

I Esonero: 17/11/08; 14:30-16:30, aula 4, Biologia, Viale Marconi 446.

Testo I esonero (con risposte)

Secondo Esonero: 27/1/09; 14:30-16:30, aula 4, Biologia, Viale Marconi 446.

Testo I esonero (con risposte)

I appello: 30/1/09; 14:00-16:30, aula 4, Biologia, Viale Marconi 446.

Testo Primo appello (con risposte)

II appello: 18/2/09; 14:30-17:00, aula 4, Biologia, Viale Marconi 446.

La visione degli scritti e l'esame orale del II appello si terrà in aula 009 del Dipartimento di Matematica (piano terra), Largo San L. Murialdo 1, alle ore 10:00 di venerdì 20/2/09

III appello: 18/6/09; ore 14:00-16:30. Aula B (Fisica)

IV appello sessione estiva: 14/7/09; ore 10:00-12:30. Aula B (Fisica)

V appello sessione estiva: 7/9/09; ore 10:00-12:30. Aula B (Fisica)

Bibliografia

[G2] Giusti, E.: Analisi Matematica 1, Seconda Edizione Bollati Boringhieri, 1991 (edizione fuori commercio)

[GE] Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 2000

[D] Demidovich, B.P., Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 1993

[G3] Giusti, E.: Analisi Matematica 1, Terza Edizione Bollati Boringhieri, 2002

[R] Rudin, W.: Principi di analisi matematica, Milano 1991

[A] Adams, R.A.: Calcolo differenziale 1, Ambrosiana, 2003

[TF] Thomas, G.B., Finney, R. L.: Elementi di analisi matematica e geometria analitica, Zanichelli, 1993

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: luigi@mat.uniroma3.it