ANALISI MATEMATICA I ( CdL Fisica)

AA 2007-2008 - I Semestre (L. Chierchia)

Esercitazioni: L. Chierchia, G. Pinzari

Indice

Avvisi
Sito del corso AA 2006-2007
Scheda informativa
Orari
Diario delle lezioni
Bibliografia
Esoneri ed esami

AVVISI

[29/4/08] ATTENZIONE: la data del quarto appello è posticipata di un giorno.

[25/1/08] ATTENZIONE: gli esami orali del 25/2/08 sono spostati a giovedì 28/2/08, ore 14:30, aula C, edificio Aule, Largo San L. Murialdo 1.

[2/1/08] Mercoledì 9/1/08 e mercoledì 16/1/08 non ci sarà lezione.

[2/1/08] Venerdì 11/1/08: quarto test scritto in aula con correzione alla lavagna e autovalutazione.

[21/12/07] Lunedì 28/1/08: terzo esonero

[21/12/07] Le lezioni riprenderanno il 7/1/08 e termineranno il 18/1/08: in queste due settimane si faranno principalemte esercizi e ripassi in preparazione degli esami finali.

[6/12/07] Sono state fissate le date dei primi due appelli.

[20/11/07] Secondo esonero: gli esercizi verteranno principalmente sui limiti di successioni e di funzioni e su serie; la parte teorica verterà sul materiale svolto in classe fino a giovedì 22/11/07.

[19/11/07] Venerdì 23/11/07: terzo test scritto in aula con correzione alla lavagna e autovalutazione.

[12/11/07] Lunedì 3/12/07: secondo esonero (Aula G, edificio aule di Largo San L. Murialdo 1; 14:30-16:30).

[13/11/07] L' orario di ricevimento è stato spostato al lunedì per non interferire col tutorato di geometria.

[24/10/07] Venerdì 2/11/07: secondo test scritto in aula con correzione alla lavagna e autovalutazione.

[24/10/07] Lunedì 5/11/07: primo esonero (Aula G, edificio aule di Largo San L. Murialdo 1; 14:30-16:30).

[17/10/07] Il ricevimento di martedì 23/10 è spostato a giovedì 25/10 dalle 14:00 alle 16:00.

[15/10/07] Il ricevimento di martedì 16/10 è rinviato a giovedì 18/10 dalle 14:00 alle 16:00.

[10/10/07] Martedì 16/10/07 le attività didattiche sono sospese in vista dell'inaugurazione dell'anno accademico.

[9/10/07] Venerdì 12/10/07: primo test scritto in aula con correzione alla lavagna e autovalutazione.

[1/10/07] Dal 2/1/07 le lezioni avranno luogo nell'aula B del Dipartimento di Fisisca in via della Vasca Navale 84.

[19/09/07] Le lezioni avranno inizio lunedì 1/10 ( orario e luogo sotto riportati).

Diario delle lezioni
Lezioni 1 e 2 [1/10/07] Definizione assiomatica dei numeri reali R: i quindici assiomi algebrici.
Paragrafo 2.3 [G3]
Esercitazioni 1 e 2 [2/10/07] Verifica, partendo dagli assiomi, delle proprietà elementari dei numeri reali (incluso: "cancellazioni", "regole dei segni", 0 a = 0 per ogni a, 1>0). Esercizi del paragrafo 2.3 di [G3].
Lezione 3 [3/10/07] Insiemi induttivi. Definizione dei numeri naturali N, degli interi Z e dei razionali Q. I naturali N soddisfano gli "assiomi" di Peano. Teorema: ∀ r ∈ Q, r² ≠ 2. Principio di induzione.
Paragrafi 2.6, 1.7, 2.1, 2.2 [G3]
Esercitazione 3 [3/10/07] Somma geometrica. Somma dei primi n interi. Il simbolo di sommatoria. Disuguaglianze.
Lezione 4 [4/10/07] Insiemi limitati, maggioranti, minoranti. Assioma di esistenza dell'estremo superiore. Esempi: sup {0,2,5,7}=7; sup {x ∈ R: 0 < x < 1}=1. Proprietà archimedea di R. N non è limitato.
Proposizione 4.3 [G2] ("proprietà archimedea")
Esercitazione 4 [4/10/07] Se a > -1 e n ∈ N, allora (1+a)ⁿ ≥ 1+ na. Es. 1.13 (3,5,6,7,8,10).
Lezioni 5 e 6 [5/10/07] ∀ a,b ∈ R con a < b, ∃ r ∈ Q tale che a < r < b ("densità dei razionali nei reali").
∀ a ∈ R, a > 0, ∀ n ∈ N, n ≥ 1, ∃! (esiste ed è unico) b>0 tale che bⁿ=a. Inoltre b = sup {x>0: xⁿ < a } ("esistenza della radice ennesima").
Esercizi: fine Es. 1.13 [G3].
Proposizione 4.4 [G2] ("densità dei razionali nei reali"); Teorema 1.21 [R] ("esistenza della radice ennesima").
Lezione 7 [8/10/07] Fine della dimostrazione del teorema sull'esistenza della radice ennesima. Q è chiuso rispetto a + e ⋅ e verifica i 15 assiomi algebrici di R ma non soddisfa (ES) (esistenza dell'estremo superiore): sup { r ∈ Q: r > 0 e r²<2 } ∉ R.
Esercitazione 5 [8/10/07] Polinomi di secondo grado in R. Fattorizzazione (reale) nel caso di discriminante non negativo. Se p(x)= x² + 2b x + c, min { p(x): x ∈ R } = p(-b) = c- b².
n! (enne fattoriale). Il coefficiente binomiale (n sopra k). (n sopra j)+ (n sopra j-1) = (n+1 sopra j). Formula del binomio di Newton.
Paragarafo 1.8 [G3] (fattoriale e binomio di Newton).
Lezione 8 [9/10/07] Fine della dimostrazione (per induzione) della formula del binomio di Newton. Il modulo di un numero reale. Proprietà elementari. Disuguaglianza triangolare. | x - y | ≥ | |x|-|y| |.
Paragarafo 2.9 [G3] (Modulo o valore assoluto di un numero reale).
Esercitazione 6 [9/10/07] Es. 2.23 [G3]: 1,4. Es. 2.27 [G3]: 4. Es.: calcolare √2 a meno di un errore di 0,25.
Lezione 9 [10/10/07] Distanza tra punti di R; proprietà della distanza. Centro e "raggi" di intervalli. Definizione di successione. Esempi di successioni. Definizione di limite di una successione: L è il limite di a_n se comunque fisso ε>0, esiste un intero N tale che |a_n-L|< ε per ogni n ≥ N.
Paragarafo 2.4 [G3] (intervalli).
Paragrafi 1 e 3 (inizio), capitolo 2 di [G2].
Esercitazione 7 [10/10/07] Se a_n = 1, lim a_n =1 (per ogni ε>0 si può scegliere N = 1).
Se a_n = 1/n, lim a_n = 0 (per ogni ε>0 si può scegliere N intero e maggiore di 1/ ε).
Lezione 10 [11/10/07] |ab|=|a| |b|. Intorno di un punto (intervallo aperto contenente il punto). Definizione di successione che tende a = + ∞ o a - ∞.
lim aⁿ = 0 se |a|<1, lim aⁿ = + ∞ se a > 1; se a ≤ -1, lim aⁿ non esiste.
Esercitazione 8 [11/10/07] La serie geometrica di ragione a converge a (1-a)^-1 se |a|<1; se a ≥ 1 diverge (converge a + ∞); non converge se a ≤ -1.
Esempi 2.5 e 2.6, capitolo 2 [G2].
Esercitazioni 9 e 10 [12/10/07] (GP) Primo test scritto con autovalutazione e correzione alla lavagna.
Esercitazione 11 [15/10/07] Se a,b ≥ 0, allora (ab)^1/n = a^1/n b^1/n. Se A è non vuoto e limitato inferiormente, allora inf A = - sup(-A). La radice ennesima di un numero primo è irrazionale (solo enunciato); la somma di un razionale con un razionale è irrazionale; il prodotto di un irrazionale con un razionale diverso da 0 è irrazionale. Esercizio: sup { x ≥ 1/ √ 5 } = 1/ √5 (ma non è un massimo).
Lezione 11 [15/10/07] Siano n e k interi tali che n ≥ 2k >0, allora (n sopra k) ≥ c_k n^k, con c_k:=1/(2^k k!). Se A>1, allora lim_{n → ∞} n^k/ Aⁿ = 0. Se A>1, allora lim A^1/n = 1.
Par. 2, capitolo 2, [G2].
Lezione 12 [17/10/07, 36 studenti in classe] Limiti notevoli: se A>0, allora lim A^1/n = 1; lim n^1/n =1. "Ogni successione ammette al più un limite". "Una successione convergente (ossia con limite finito) è limitata".
Par. 2 e 3, capitolo 2, [G2].
Esercitazione 12 [17/10/07] (GP) Es. 4.1 (c), (e) da [G2]. Somma della serie dei quadrati (induzione).
Lezione 13 [18/10/07, 33 studenti in classe] Operazioni con i limiti (Proposizione 4.1, capitolo secondo, [G2]).
Par. 4, capitolo 2, [G2].
Esercitazione 13 [18/10/07] Esercizi sui limiti (dagli Esercizi 2.1 e 4.4, capitolo secondo, [G2]).
Lezione 14 [19/10/07, 32 studenti in classe] Teorema del confronto (o "dei carabinieri"); permanenza del segno. Successioni monotone (una successione crescente limitata superiormente converge all'estremo superiore dei valori della successione; analogo per succesioni decrescenti).
Par. 4, capitolo 2, [G2] e Teorema 6.2 (dal par. 6, capitolo 2, [G2]).
Esercitazione 14 [19/10/07] (GP) Esercizi sulla definizione di limite.
Lezioni 15 e 16 [22/10/07, 33 studenti in classe] Operazioni coi limiti (includendo i limiti + ∞ e - ∞).
Definizione di a^r con a>0 e r razionale. a^r+s=a^r a^s, a>0, r e s razionali.
Esercitazioni 15 e 16 [23/10/07, 35 studenti in classe] (GP) Esercizi sui limiti.
Lezioni 17 e 18 [24/10/07, 35 studenti in classe] Definizione e proprietà di a^x con a>0 e x ∈ R (in particolare: a^x+y=a^x a^y e (a^x)^y= a^xy).
Sintesi in par. 8, capitolo 2 [G2].
Lezioni 19 e 20 [25/10/07, 38 studenti in classe] Definizione di logaritmo e proprietà fondamentali. Limite notevole: se a>1 e b>0 allora (log_an) / n^b = 0; se a>1 e b ≤ 0 allora (log_an) / n^b = + ∞.
Lezione 21 [26/10/07, 34 studenti in classe] Definizione di serie; comportamenti possibili di una serie. La serie geometrica. La successione dei termini ennesimi di una serie convergente tende a zero. Esempi di serie divergenti con termini ennesimi che tendono a zero ( ∑ 1/ √n ). Le serie a termini positivi o convergono o divergono.
[G3]: paragrafi 6.6, 6.7, 6.8; teorema 6.6.
Esercitazione 17 [26/10/07] Esercizi su limiti di successioni da [GE].
Lezione 22 [29/10/07, 39 studenti in classe] Criteri di convergenza per serie a termini positivi: criterio del confronto e del confronto asintotico; criterio della radice; criterio del rapporto. Criterio di convergenza assoluta. Criterio di Leibnitz per serie a segni alterni.
[G3]: paragrafi 6.8, 6.9 e 6.10.
Esercitazione 18 [29/10/07] Esercizi sulla convergenza di serie da [GE, cap. 4].
Lezione 23 [30/10/07, 33 studenti in classe] Definizione (per serie) di seno e coseno; valori in 0 e parità. Se 0<2|x|≤ m+1, allora ∑_k≥m (|x|^k/k!) < 2 (|x|^m/m!). Se |x|≤1, allora |sen x-x|<|x|³/3 e |cos x-1| < x².
Complemento 1: definizione di seno, coseno e pi greco
Esercitazione 19 [30/10/07] Esercizi su limiti e serie da [GE].
Lezioni 24 e 25 [31/10/07, 37 studenti in classe] Se 0 ≤ a_n → a allora, per ogni x≠0, (a_n)^x → a^x (continuità delle potenze). La successione (1+ 1/n)ⁿ è strettamente crescente e limitata. Definizione: e = lim (1+ 1/n)ⁿ (numero di Eulero). lim (1+ x/n)ⁿ = e^x, per ogni numero reale x. e^x = ∑_k≥0 x^k/k!.
Paragrafo 6.2 [G3]; paragrafo 7, cap. secondo [G2].
Esercitazioni 20 e 21 [2/11/07, 33 studenti in classe] (GP) Secondo test scritto in aula con correzione alla lavagna e autovalutazione.
Lezione 26 [5/11/07, 34 studenti in classe] Se 0 < a_n → a>0, allora log a_n → log a. Se 0 < a_n → 0, allora lim [log(1+ a_n)]/a_n = 1. Se 0≠ a_n → 0, allora lim (sen a_n)/a_n = 1 e lim (1 - cos a_n)/(a_n)² = 1/2.
Complemento 2: continuità delle potenze e del logaritmo e tre limiti notevoli
Esercitazione 22 [5/11/07] Esercizi su limiti e serie.
Lezione 27 [6/11/07, 32 studenti in classe] Criterio di condensazione di Cauchy per serie a termini positivi. Definizione di sottosuccessione.
Teorema 14.3, par. 14, cap. secondo [G2]. Par. 4.7, cap. 4 [G3].
Esercitazione 23 [6/11/07] Correzione del primo esonero. Per ogni intero n>0, n! > (n/e)ⁿ.
Lezione 28 [7/11/07, 35 studenti in classe] Se lim a_n = L, allora lim a_{n_k}=L per ogni sottosuccessione a_{n_k}. Teorema di Bolzano-Weierstrass per successioni. Ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente. Criterio di Cauchy per successioni convergenti.
Teorema 6.1 e par. 6.4 [G3].
Esercitazione 24 [7/11/07] Esercizi su limiti e serie.
Esercitazioni 25 e 26 [8/11/07] Esercizi su limiti e serie.
Lezione 29 [9/11/07, 28 studenti in classe] Insiemi numerabili. Una unione numerabile di insiemi numerabili è numerabile. I numeri algebrici sono numerabili. [0,1] non è numerabile.
Par. 4.8 [G3].
Esercitazione 27 [9/11/07] Esercizi su limiti e serie.
Lezioni 30 e 31 [12/11/07, 37 studenti in classe] Definizione di funzione continua in un punto tramite successioni: f: A⊆ R → R è continua in x_o ∈ A se e solo se comunque si prenda una successione {x_n} ⊆ A con limite x_o si ha che lim f(x_n)=f(x_o).
Sono continue (sul loro insieme di definizione): i polinomi; le funzioni razionali; le potenze reali; le funzioni esponenziali; i logaritmi; seno e coseno; il modulo. Non sono continue sugli interi le funzioni parte intera e parte frazionaria. Altri esempi.
Definizione di insiemi aperti e chiusi. Esempi: (0,1) è aperto; [0,1] è chiuso; [0,1) non è né aperto né chiuso.
Per gli insiemi aperti e chiusi: prima parte del par. 5, cap. I [G2].
Esercitazioni 28 e 29 [13/11/07, 32 studenti in classe] Sommario su: limiti notevoli; algebra dei limiti; somme e serie notevoli; criteri di convergenza.
Seno e coseno iperbolico. La costante di Eulero e è irrazionale.
Lezione 32 [14/11/07, 33 studenti in classe]
A non è aperto se e solo se ∃ {x_n} ⊆ A^c convergente e lim x_n ∈ A.
C non è chiuso se e solo se ∃ {x_n} ⊆ C convergente e lim x_n ∉ C.
C è chiuso se e solo se ∀ {x_n} ⊆ C convergente, lim x_n ∈ C.
Definizione: K ⊆ R si dice compatto (per successioni) se e solo se ∀ {x_n} ⊆ K, esiste una sottosuccessione {x_{n_k}} convergente con limite in K.
K è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
Teorema di Weierstrass Una funzione continua su un insieme compatto ammette massimo e minimo.
Paragrafo 11, cap. II [G2]. Teorema 10.4, par. 10, cap. III [G2].
Esercitazione 30 [14/11/07] Esercizi su limiti e serie.
Lezioni 33 e 34 [15/11/07, 35 studenti in classe]
f: A⊆ R → R è continua in x_o ∈ A se e solo se ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tale che |f(x)-f(x_o)| < ε, ∀ x ∈ A e |x-x_o| < δ.
f è continua su R se e solo se f^-1(V):={x: f(x) ∈ V} è aperto, ∀ aperto V.
Topologia in R. R e ∅ sono (gli unici) sottoinsiemi di R simultaneamente aperti e chiusi. Una unione arbitraria di aperti è aperta. Un'intersezione finita di aperti è aperta. Un'intersezione arbitraria di chiusi è chiusa. Un'unione finita di chiusi è chiusa. Definizione di chiusura, interno, frontiera e derivato (o punti di accumulazione o punti limite) di un insieme.
Topologia: Paragrafo 5, cap. I [G2].
Esercitazione 31 e 32 [16/11/07] (GP) Esercizi su limiti e serie.
Lezione 35 [19/11/07, 33 studenti in classe] Definizione di limite di funzioni (inclusi i casi con +∞ e -∞). Proprietà fondamentali (sulla somma, prodotto e reciproci di limiti). Una funzione è continua in x₀ se e solo se x₀ è un punto isolato oppure se lim_x→x₀ f(x) = f(x₀). Limiti notevoli. Continuità del seno e coseno. Limiti da sinistra e da destra.
Paragrafi 4 e 5, cap. terzo [G2].
Esercitazione 33 [19/11/07] Esercizi su limiti (di successioni e funzioni) e serie.
Lezione 36 [20/11/07, 30 studenti in classe] Teorema della permanenza del segno. I limiti sinistri e destri di funzioni monotone esistono sempre. Teorema di esistenza degli zeri per funzioni continue.
Teorema 4.2, par. 4, cap. terzo [G2]. Par. 6, cap. terzo [G2]. Teorema 10.2, par. 10, cap. terzo [G2]. Paragrafi 4 e 5, cap. terzo [G2].
Esercitazione 34 [20/11/07] Esercizi su limiti (di successioni e funzioni) e serie.
Esercitazioni 35 e 36 [21/11/07] (GP) Esercizi su limiti (di successioni e funzioni) e serie.
Lezioni 37 e 38 [22/11/07, 22 studenti in classe ] Teorema dei valori intermedi per funzioni continue su intervalli. L'immagine secondo una funzione continua di un intervallo è un intervallo. L'immagine secondo una funzione continua di un insieme compatto è un insieme compatto. La composizione di funzioni continua è continua. Una funzione continua e iniettiva su un compatto ha inversa continua. Una funzione continua e iniettiva su un intervallo è monotona; una funzione continua e iniettiva su un intervallo ha inversa continua (cenni della dimostrazione). Funzioni uniformemente continue. Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua.
Paragrafi 10, 11 e 12, cap. terzo [G2].
Esercitazioni 37 e 38 [23/11/07, 28 studenti in classe] Terzo test scritto in aula con correzione alla lavagna e autovalutazione.
Lezioni 39 e 40 [26/11/07, 27 studenti in classe] Definizione di derivata. Calcolo delle derivate di xⁿ, polinomi, 1/x, √x, e^x, log x, a^x, log_a x, senh x, cosh x. Derivate di sen x e cos x (usando solo la definizione per serie di seno e coseno).
Complemento 3: La derivata di seno, coseno
Lezioni 41 e 42 [27/11/07, 30 studenti in classe] Rette, rette tangenti e secanti. Una funzione derivabile in x è continua in x. Sia f una funzione continua in x_o, allora lim_{x →x_o} (f(x)- α x - β)/(x-x_o) =0 se e solo se f è differenziabile in x_o e α = f '(x_o) e β= f(x_o)- f '(x_o) x_o.
Regole di derivazione (derivazione di somme, prodotti, reciproco, inversa, composizione di funzioni derivabili).
Complemento 4: Una caratterizzazione della derivata
Par. 8.1, 8.2 e 8.3, cap. 8 [G3].
Lezione 43 [28/11/07, 29 studenti in classe] Se x_o è un punto interno ed è di massimo o minimo relativo per una funzione f derivabile in x_o, allora f '( x_o)=0. Esempi e applicazioni al calcolo di massimi e minimi.
Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy.
Se una funzione ha derivata nulla su di un intervallo allora è costante.
Una funzione derivabile in (a,b) è crescente se e solo se ha derivata non negativa in (a,b).
Par. 8.4, 8.5, cap. 8 [G3].
Esercitazione 39 [28/11/07] Esercizi sui limiti. Grafici e proprietà delle funzioni iperboliche. Derivata di: x^a, tan x, cotan x, arcsin x (tramite la regola della derivazione di funzione inverse).
Lezione 44 [29/11/07, 30 studenti in classe] Se f ''≥0 su (a,b) allora è convessa. Se x_o è un punto interno critico per f e f ''(x_o)>0 allora x_o è un minimo locale stretto per f. Se x_o è un punto interno ed un minimo locale per f ed esiste f ''(x_o), allora f ''(x_o)≥0.
Teorema 10.1 del par. 10.1, cap. 10 [G3]; Teorema 10.3 del par. 10.2, cap. 10 [G3].
Esercitazione 40 [29/11/07] Esercizi sui limiti di funzione e serie. Grafico di 1/x; 1/|x|; tanh x.
Esercitazioni 41 e 42 [30/11/07] (GP) Esercizi sui limiti di successioni, serie e funzioni.
Lezione 45 [3/12/07, 24 studenti in classe] Dimostrazione del Teorema 4 del Complemento 1 e grafici del seno e coseno. Teorema di Bernoulli--Hopital sulla forma indeterminata 0/0. Teorema di Bernoulli--Hopital sulla forma indeterminata ∞/∞ (solo enunciato).
Complemento 5: Dimostrazione del Teorema 4 e grafici di seno e coseno.
Teorema 8.11 del par. 8.7, cap. 8 [G3]. Teorema 8.12 del par. 8.7, cap. 8 [G3] (solo enunciato).
Esercitazione 43 [3/12/07] Teoria matematica dell'oscillatore armonico.
Grafici di: log x; e^x; tan x; arctan x.
Lezione 46 [4/12/07, 30 studenti in classe] La formula di Taylor.
Teorema 10.6, Teorema 10.7 e Corollario 10.1 del par. 10.7, cap. 10 [G3].
Esercitazione 44 [4/12/07] Correzione del secondo esonero.
Lezione 47 [5/12/07, 33 studenti in classe] Area sottesa dal grafico di funzioni continue e positive in R²: principi fondamentali (l'area di un rettangolo è base per altezza; se A ⊆ B, allora area(A) ≤ area(B)). Teorema fondamentale del calcolo. Primitive: F è una primitiva di f se e solo se F'=f e si scrive F= ∫ f.
Esempio 8.3, par. 8.1, cap. 8 [G3].
Esercitazione 45 [5/12/07] Derivata e grafici di sh^-1x, tanh^-1x. Tabella delle derivate e primitive di funzioni elementari.
Lezioni 48 e 49 [6/12/07, 31 studenti in classe] Funzioni semplici (o costanti a tratti). Integrale (di Riemann) di funzioni semplici. La somma ed il prodotto di funzioni semplici è una funzione semplice. Linearità e positività dell'integrale su funzioni semplici.
Definizione di integrale superiore ed integrale inferiore per funzioni limitate. Definizione di integrale di Riemann.
Caratterizzazioni dell'integrabilità ("caratterizzazione con gli epsilon" e caratterizzazione tramite successioni di funzioni semplici).
La funzione caratteristica dei razionali in [0,1] ha integrale inferiore uguale a 0 ed integrale superiore uguale ad 1 (e quindi non è integrabile secondo Riemann).
Par. 9.2 (fino a pag. 310), [G3].
Esercitazioni 46 e 47 [7/12/07, 27 studenti in classe] (GP) Esercizi su studi di funzione e problemi di massimo e minimo da [GE].
Lezioni 50 e 51 [10/12/07, 29 studenti in classe] Proprietà fondamentali delle funzioni integrabili. Una funzione continua su (a,b) e limitata in [a,b] è integrabile su [a,b).
Par. 9.2 (tutto), [G3]. Teorema 9.5 e Osservazioni 9.6 e 9.7, par. 9.3 [G3].
Lezioni 52 e 53 [11/12/07, 28 studenti in classe] Una funzione monotona su (a,b) e limitata in [a,b] è integrabile su [a,b). Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo. Integrazione per parti; integrazione per sostituzione. Definizione di area. L'area del cerchio unitario è π (il doppio del primo zero positivo del coseno).
Par. 9.3, 9.4, 9.5, 9.6 e 9.7, [G3].
Lezione 54 [12/12/07, 25 studenti in classe] Integrali generalizzati ("impropri"). Segmenti e lunghezza di segmenti. Lunghezze di grafici di funzioni C¹. La lunghezza della "circonferenza" S¹:={(x,y): x²+y²=1} è 2 π (il quadruplo del primo zero positivo del coseno).
Par. 9.11, [G3].
Esercitazione 48 [12/12/07, ] Calcolo di integrali generalizzati.
Esercitazioni 49 e 50 [13/12/07, 27 studenti in classe ] (GP) Esercizi su: massimi/minimi; grafici di funzioni; derivate e integrali. Integrazione di funzioni razionali.
Par. 9.8, [G3].
Esercitazioni 51 e 52 [14/12/07, 22 studenti in classe ] (GP) Esercizi su: massimi/minimi; grafici di funzioni; derivate e integrali. Integrazione di funzioni razionali di seno e coseno.
Lezioni 55 e 56 [17/12/07, 23 studenti in classe] Per ogni punto (x_o,y_o) su S¹:={(x,y): x²+y²=1} esiste un unico t in [0, 2π) tale che x_o=cos t, y_o=sin t; tale t è la lunghezza dell'arco orientato in senso antiorario che unisce (1,0) con (x,y) su S¹.
Coordinate polari in R².
Distanza in R²: disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e disuguaglianza triangolare in R².
Complemento 6: Lunghezza di curve e proprietà geometriche di seno e coseno
Complemento 7: Alcune proprietà di R²
Lezioni 57 e 58 [18/12/07, 31 studenti in classe] Il campo complesso: C:=(R²,+,*). Proprietà della somma e del prodotto complesso (in particolare: associatività del prodotto e proprietà distributiva). Reciproco. Unità immaginaria i=(0,1). Complesso coniugato e modulo o valore assoluto di un numero complesso. Immersione di R in C e rappresentazione standard z=(x,y)= x + i y.
Esercitazioni 53 e 54 [19/12/07, 27 studenti in classe ] (GP) Esercizi su: grafici di funzioni; integrali.
Lezioni 59 e 60 [20/12/07, 27 studenti in classe] Prodotto scalare in R² e prodotto complesso in coordinate polari. Successioni e serie complesse. Convergenza assoluta. Serie geometriche in C. La serie esponenziale exp(z). Formula di Eulero. exp(z+w) = exp(z) exp(w) ("teorema di addizione", enunciato). Formule trigonometriche come conseguenza del teorema di addizione. Radice ennesime dell'unità.
Lezioni 61 e 62 [21/12/07, 27 studenti in classe] Dimostrazione del teorema di addizione per esponenziali complessi. Teorema fondamentale dell'algebra (enunciato). Fattorizzazione di polinomi complessi. Radici ennesime di numeri complessi. Formula risolutiva per equazioni di secondo grado in C.
Complemento 8: Numeri complessi
Esercitazioni 55 e 56 [7/1/07, 27 studenti in classe ] Calcolo di integrali indefiniti: esercizi da [D].
Esercitazioni 57 e 58 [8/1/07, 23 studenti in classe ] Grafici di funzioni; soluzioni di equazioni complesse: esercizi da [G3]. Integrazione di funzioni razionali (caso generale): decomposizione in fratti "elementari".
Esercitazioni 59 e 60 [11/1/07, 23 studenti in classe ] (GP) Quarto test scritto in aula.
Esercitazioni 61 e 62 [14/1/07, 25 studenti in classe ] Esercizi vari (grafici, massimi, integrali, sviluppo di Taylor).
Esercitazioni 63 e 64 [15/1/07, 23 studenti in classe ] Esercizi da [D] su: integrali; integrali impropri; formula di Taylor; calcolo di lunghezze di curve.
Esercitazioni 65 e 66 [17/1/07, 23 studenti in classe ] (GP) Esercizi da [D] su: integrali; integrali impropri; formula di Taylor; calcolo di lunghezze di curve.
Esercitazioni 67 e 68 [15/1/07, 20 studenti in classe ] Integrali impropri. Covergenza di serie e integrali impropri ("criterio di convergenza integrale").

Orario lezioni:
- luned� e mercoled�: 9:00 - 11:00 (Aula B, via della Vasca Navale 84)
- marted� e gioved�: 11:00 - 13:00 (Aula B, via della Vasca Navale 84)
- venerd�: 10:00 - 12:00 (Aula B, via della Vasca Navale 84)

Orario di ricevimento:
Lunedì 13:45-15:30 - Studio 210, Dipartimento di Matematica

Esoneri ed esami

Primo Esonero: 5/11/07; 14:30-16:30, aula G dell'edificio aule di Largo San L. Murialdo 1.

Testo Primo esonero (con risposte)

Secondo Esonero: 3/12/07; 14:30-16:30, aula G dell'edificio aule di Largo San L. Murialdo 1.

Testo Secondo esonero (con risposte)

Terzo esonero: 28/1/08; 14:00-17:00.
Orale: venerdì 1/2/08, ore 9:00, aula 009 del Dipartimento di Matematica (Largo San L. Murialdo 1, Edificio C).

Testo Terzo esonero (con risposte)

Primo appello: 28/1/08; 14:00-17:00.
Orale: venerdì 1/2/08, ore 9:00, aula 009 del Dipartimento di Matematica (Largo San L. Murialdo 1, Edificio C).

Testo Primo Appello (con risposte)

Testo Primo Appello - Elementi di Analisi 1 (con risposte)

Secondo appello: 18/2/08; 14:00-17:00; Aula 4, Viale Marconi, 446.
Orale: giovedì 28/2/08, ore 14:30, aula C, edificio Aule, Largo San L. Murialdo 1.

Testo Secondo Appello (con risposte)

Testo Secondo Appello - Elementi di Analisi 1 (con risposte)

Terzo appello: 27/6/08; 10:00-13:00; Aula 4, Viale Marconi, 446.

Testo Terzo Appello (con risposte)

Testo Terzo Appello - Elementi di Analisi 1 (con risposte)

Quarto appello : 15/7/08; 10:00

Bibliografia

[G3] Giusti, E.: Analisi Matematica 1, Terza Edizione Bollati Boringhieri, 2002
[G2] Giusti, E.: Analisi Matematica 1, Seconda Edizione Bollati Boringhieri, 1991
[GE] Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 1991
[D] Demidovich, B.P., Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 1993

[R] Rudin, W.: Principi di analisi matematica, McGraw-Hill, Milano 1991

[A] Adams, R.A.: Calcolo differenziale 1, Ambrosiana, 2003

[TF] Thomas, G.B., Finney, R. L.: Elementi di analisi matematica e geometria analitica, Zanichelli, 1993

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: luigi@mat.uniroma3.it