ANALISI MATEMATICA II (CdL Fisica)
AA 2007-2008 - I Semestre (Alessandro Giuliani / Silvia Mataloni)
- Indice
- Avvisi
- Programma
- Diario delle lezioni
- Orari
- Bibliografia
- Esami ed esoneri
- Programmi dei corsi di Matematica II, di Elementi di Analisi II e di Elementi di Analisi III tenuti dal Prof. A. Pellegrinotti negli anni accademici passati.
- Avvisi
AVVISI
- [15/2/08] L'appello aperto agli
studenti del Prof. A. Pellegrinotti dei corsi di Matematica 2,
Elementi di Analisi 2 ed Elementi di Analisi 3 degli scorsi anni accademici
è stato posticipato a Sabato 23 Febbraio 2008 ore 9:30 in Aula 4,
V.le Marconi 446.
- [30/1/08]
Il calendario degli appelli d'esame di Febbraio 2008 è il seguente:
Primo appello: 1 Febbraio 2008 ore 10:00 in Aula 4, V.le Marconi 446 (scritto); 4 Febbraio 2008 ore 9:00, in Aula 4, V.le Marconi 446 (orale). In caso di necessità gli orali continueranno il giorno 5 Febbraio, in orario e aula da concordare.
Secondo appello: 15 Febbraio 2008 ore 10:00 in Aula 4, V.le Marconi 446 (scritto); 18 Febbraio 2008 ore 9:00, in Aula B (orale). In caso di necessità gli orali continueranno il giorno 19 Febbraio, in orario e aula da concordare. Il secondo appello sarà aperto anche agli studenti del Prof. A. Pellegrinotti dei corsi di Matematica 2, Elementi di Analisi 2 ed Elementi di Analisi 3 degli scorsi anni accademici.
- Diario delle lezioni
- Lezioni 1 e 2 [24/9/07]
Successioni di funzioni: generalità. Esempi: una successione di funzioni integrabili convergenti a zero il cui integrale non tende a zero; una successione di funzioni continue il cui limite non è continuo. Convergenza puntuale e uniforme. Teorema di scambio limite e integrale. Teorema di continuità del limite.- Lezioni 3 e 4 [25/9/07]
Esempio: sviluppo in serie di potenze della funzione artg(x). Esempi: convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni (Esercizi dal Giusti [G]: 13.1.4, 13.1.5, 13.4.6, 13.1.1). Teorema di scambio limite e derivata. Serie di funzioni: generalità. Convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale. Teorema: convergenza totale implica convergenza assoluta uniforme. Serie di potenze: convergenza puntuale e totale.-
- Esercitazioni 1 e 2 [26/9/07]
Esempi vari su convergenza puntuale o uniforme di successioni di funzioni. -
- Lezione 5 [27/9/07]
Esempio: una funzione che converge assolutamente uniformemente ma non totalmente. Serie di potenze: definizione di raggio di convergenza. Criterio di Cauchy-Hadamard per calcolare il raggio di convergenza. Teorema del raggio di convergenza della serie derivata. - Lezioni 6 e 7 [1/10/07]
Teorema: la somma di una serie di potenze è infinitamente differenziabile e coincide con la sua serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor. Esempio: una funzione infinitamente differenziabile la cui serie di Taylor è convergente ma non coincide con la funzione di partenza. Serie di potenze a termini complessi (cenni). Esercizi dal Giusti [G]: 13.10.1, 13.10.3.- Lezioni 8 e 9 [2/10/07]
Serie di Fourier: generalità. Richiami su funzioni periodiche. Funzioni continue e regolari a tratti. Coefficienti di Fourier. Esempio 14.1 e esercizio 14.8.4 dal Giusti [G]. Teoremi di convergenza puntuale e totale della serie di Fourier: enunciati.-
- Esercitazioni 3 e 4 [3/10/07]
Esempi vari su serie di potenze e di Fourier. - Lezione 10 [4/10/07]
Disuguaglianza di Bessel. Dimostrazione del teorema di convergenza puntuale della serie di Fourier (prima parte).- Lezioni 11 e 12 [8/10/07]
Dimostrazione del teorema di convergenza puntuale della serie di Fourier (seconda parte). Dimostrazione del teorema di convergenza totale della serie di Fourier per funzioni continue. Identità di Parseval. Esempi: serie notevoli per il calcolo di π2.- Lezioni 13 e 14 [9/10/07]
Richiami di algebra lineare: spazi vettoriali, vettori linearmente (in)dipendenti, basi, applicazioni lineari, funzionali lineari, spazio duale, rappresentazione matriciale delle applicazioni lineari, rango di una matrice, diagonalizzabilità di matrici quadrate simmetriche, matrici (semi)definite positive/negative. Elementi di topologia in Rn: punti interni, esterni, di accumulazione, intorni circolari aperti, insiemi aperti, insiemi chiusi, chiusura di un insieme, insiemi limitati, insiemi connessi, insiemi compatti, domini. Teorema di Heine-Borel (enunciato).-
- Esercitazioni 5 e 6 [10/10/07]
Esempi vari su successioni di funzioni, serie di funzioni e serie di Fourier. - Lezione 15 [11/10/07]
Nozione di limite e continuità per funzioni a piú variabili. Teorema: una composizione di funzioni continue è continua (enunciato). Teoremi di Weistrass, di Cantor e dei valori intermedi (enunciati).- Lezioni 16 e 17 [15/10/07]
Continuità della funzione distanza. Esempi: una funzione continua lungo tutte le direzioni non è necessariamente continua. Derivate parziali. Gradiente. Derivate direzionali. Esempi: una funzione derivabile non è necessariamente continua. Funzioni differenziabili. Teorema del differenziale (enunciato).-
- Esercitazioni 7 e 8 [17/10/07]
Esempi vari su continuità, derivabilità e differenziabilità di funzioni in piú variabili. - Lezioni 18 e 19 [18/10/07]
Teorema del differenziale: dimostrazione. Derivate di ordine superiore. Matrice Hessiana. Teorema di Schwarz. Derivazione delle funzioni composte.- Lezioni 20 e 21 [22/10/07]
Derivazione delle funzioni composte: caso di funzioni a valori vettoriali. Esempio: Il gradiente è perpendicolare alle linee di livello e la sua direzione è quella di massima variazione della funzione. Formula di Taylor con resto di Lagrange (a tutti gli ordini).- Lezioni 22 e 23 [23/10/07]
Massimi e minimi relativi. Criteri necessari per l'esistenza di max/min relativi: criterio del prim'ordine (gradiente nullo) e del second'ordine (matrice Hessiana semidefinita negativa/positiva). Criterio sufficiente per l'esistenza di un max/min relativo proprio: gradiente nullo e matrice Hessiana define negativa/positiva.- Esercitazioni 9 e 10 [24/10/07]
Esempi vari su derivabilità e differenziabilità di funzioni in piú variabili. Derivazione di funzioni composte. Funzioni armoniche. Massimi e minimi relativi. Criterio sufficiente per l'esistenza di un max/min relativo in 2 variabili.- Lezioni 24 e 25 [25/10/07]
Integrazione in piú variabili: definizione di funzioni misurabili secondo Riemann. Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan. Intersezioni e unioni finite di insiemi misurabili sono misurabili. Insiemi normali definiti in termini di funzioni integrabili sono misurabili.- Lezioni 26 e 27 [29/10/07]
Criterio sufficiente per l'integrabilità di una funzione limitata a supporto compatto: se il luogo dei punti di discontinuità ha misura nulla allora la funzione è integrabile. Teorema di Fubini: formule di riduzione. Calcolo di integrali doppi e tripli su domini normali.- Lezioni 28 e 29 [30/10/07]
Calcolo del volume di un solido di rotazione. Esempio: Volume della sfera n-dimensionale. Cambio di variabili in integrali doppi.- Esercitazioni 11 e 12 [31/10/07]
Integrali multipli. Formule di riduzione.- Lezioni 30 e 31 [5/11/07]
Cambio di variabili in integrali doppi: dimostrazione. Coordinate polari, cilindriche e sferiche.- Lezioni 32 e 33 [6/11/07]
Coordinate polari, cilindriche e sferiche: esempi vari ed esercizi. Integrali impropri. Calcolo dell'integrale di Gauss.- Esercitazioni 13 e 14 [7/11/07]
Integrali multipli. Cambio di variabili in integrali multipli.- Lezione 34 [8/11/07]
Esercitazione scritta sul programma della prima parte del corso.- Lezioni 35 e 36 [19/11/07]
Curve in Rn: generalità (curve piane, semplici, chiuse, regolari). Riparametrizzazioni ammissibili di curve regolari. Lunghezza. Teorema di rettificabilità di curve C1.- Lezioni 37 e 38 [20/11/07]
Ascissa curvilinea. Riferimento mobile di Frenet: vettore tangente, normale, curvatura, raggio di curvatura, cerchio osculatore, piano osculatore, torsione.- Esercitazioni 15 e 16 [21/11/07]
Integrali impropri: esempi ed esercizi.- Lezione 39 [22/11/07]
Integrali curvilinei. Esempi su calcolo di lunghezze e di integrali curvilinei.- Lezioni 40 e 41 [26/11/07]
Superfici regolari. Riparametrizzazioni ammissibili di superfici. Equivalenza tra superfici regolari. Superfici orientate. Area di una superficie regolare.- Lezioni 42 e 43 [27/11/07]
Area di superfici definite come grafici di funzioni C1. Area di superfici di rotazione. Formula di Guldino. Integrali superficiali. Teorema della funzione implicta: enunciato e dimostrazione (non costruttiva).- Esercitazioni 17 e 18 [28/11/07]
Integrali di linea e superficie: esempi ed esercizi.- Lezione 44 [29/11/07]
Teorema della funzione implicita: dimostrazione in termini di un'iterazione convergente alla soluzione (costruttiva).- Lezioni 45 e 46 [3/12/07]
Applicazioni e conseguenze del teorema della funzione implicita. Teorema di inversione locale. Teorema di inversione globale (solo enunciato). Massimi e minimi vincolati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.- Lezioni 47 e 48 [4/12/07]
Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (enunciato generale). Esempi ed esercizi su massimi e minimi vincolati.- Esercitazioni 19 e 20 [5/12/07]
Massimi e minimi vincolati: esempi ed esercizi.- Lezione 49 [6/12/07]
Lavoro di una forza. 1-forme differenziali. Integrale di una forma differenziale lungo una curva regolare. Forme esatte. Caratterizzazione delle forme esatte (una forma differenziale è esatta se e solo se l'integrale su ogni curva chiusa è uguale a zero).- Lezioni 50 e 51 [10/12/07]
Forme chiuse. Condizione necessaria perchè una forma sia esatta è che la forma sia chiusa. Insiemi semplicemente connessi. Aperti stellati. Teorema: su un aperto stellato una forma è esatta se e solo se è chiusa. 2-forme differenziali. Integrale di una 2-forma su un dominio di R2.- Lezioni 52 e 53 [11/12/07]
Il teorema di Gauss-Green. Conseguenze del teorema di Gauss-Green: calcolo di aree di domini regolari del piano.- Esercitazioni 21 e 22 [12/12/07]
Integrali curvilinei e forme differenziali: esempi ed esercizi.- Lezione 54 [13/12/07]
Conseguenze del teorema di Gauss-Green: teorema della divergenza in R2; teorema di Stokes in R3; equivalenza tra forme chiuse ed esatte su aperti semplicemente connessi di R2 ed R3.- Lezioni 55 e 56 [17/12/07]
Equazioni differenziali: generalità. Forma normale. Riduzione di un'equazione differenziale in forma normale di ordine n ad un sistema di n equazioni lineari del prim'ordine. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazione di Newton (esempio: moto sulla separatrice del pendolo). Equazioni differenziali lineari del prim'ordine. Equazioni differenziali lineari del second'ordine a coefficienti costanti.- Lezioni 57 e 58 [18/12/07]
Equazioni differenziali lineari del second'ordine a coefficienti costanti: esempi nel caso omogeneo e non. Metodo di variazione delle costanti. Equazioni differenziali lineari del prim'ordine: esempi. Unicità della soluzione per ogni dato iniziale assegnato. Equazioni a variabili separabili: la soluzione può non essere unica. Il problema di Cauchy. Formulazione integrale del problema di Cauchy. Funzioni Lipschitziane. Teorema di esistenza e unicità locale di Cauchy (enunciato).- Esercitazioni 23 e 24 [19/12/07]
Esercizi su forme differenziali, teorema di Gauss-Green e teorema di Stokes.- Esercitazioni 25 e 26 [7/1/08]
Esercizi su equazioni differenziali. Equazioni differenziali notevoli: equazioni di Bernoulli, equazioni omogenee.- Lezioni 59 e 60 [8/1/08]
Teorema di esistenza e unicità locale di Cauchy (dimostrazione). Teorema di Cauchy per sistemi e per equazioni differenziali di ordine superiore al primo.- Esercitazioni 27 e 28 [9/1/08]
Prolungamento di soluzioni di un'equazione differenziale. Prolungamento massimale. Teorema di esistenza del prolungamento massimale. Esistenza globale di soluzioni. Comportamento della soluzione massimale ai bordi del dominio massimale di esistenza.- Esercitazioni 29 e 30 [10/1/08]
Esercizi su equazioni differenziali: problema di Cauchy, equazioni di Bernoulli, omogenee e a separazioni di variabili, prolungamento massimale di soluzioni.- Esercitazioni 31 e 32 [14/1/08]
Esistenza globale di soluzioni per equazioni differenziali lineari. Integrale generale per equazioni differenziali di ordine n (omogenee e non). Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti: soluzione generale del problema omogeneo. Polinomio caratterstico. Determinante di Vandermonde.- Esercitazioni 33 e 34 [15/1/08]
Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti: soluzione generale del problema non omogeneo (metodo di variazione delle costanti). Matrice Wronskiana. Determinante Wronskiano e soluzioni linearmente (in)dipendenti.- Esercitazioni 35 e 36 [16/1/08]
Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti: soluzione generale del problema omogeneo (metodo di somiglianza). Equazioni di Clairaut. Integrazione per serie.- Esercitazioni 37 [17/1/08]
Cenni su analisi qualitativa delle soluzioni di equazioni differenziali: punti di equilibrio stabili e instabili; stabilità asintotica; approssimazione lineare di un'equazione differenziale attorno a un suo punto di equilibrio.
Regolamento: Per superare con successo le due prove di esonero è necessario ottenere almeno 16/30 in entrambe le prove, e una media di almeno 18/30. Chi avrà superato con successo gli esoneri potrà sostenere l'orale entro la sessione di Settembre 2008 senza dover sostenere l'esame scritto. Chi non avrà superato con successo gli esoneri dovrà sostenere la prova scritta. Potranno sostenere la prova scritta anche coloro avessero superato con successo gli esoneri e volessero migliorare il proprio voto; in questo caso gli esoneri perderanno valore al momento della consegna al docente dell'esame svolto. Chi avrà superato con successo l'esame scritto (i.e., con almeno 18/30) dovrà sostenere la prova orale nella stessa sessione dello scritto (ad esempio, chi supera uno scritto nella sessione di Febbraio 2008 -- al primo o al secondo appello -- deve sostenere la prova orale entro Febbraio 2008 stesso.)
Per chi volesse sostenere l'esame quest'anno, pur avendo seguito il corso di Matematica 2, Elementi di Analisi 2 o 3 negli anni precedenti: Nel secondo appello della sessione di Febbraio 2008, nello stesso giorno in cui si svolgerà il secondo esame scritto per il corso di quest'anno, verrà proposto dal Prof. A. Pellegrinotti uno scritto per coloro che abbiano seguito con lui e debbano ancora sostenere l'esame. Le modalita' dell'esame saranno le stesso descritte sopra: lo scritto dovrà essere superato con 18/30 e l'orale dovrà essere sostenuto nella stessa sessione dello scritto. L'orale si svolgerà con i docenti del corso di quest'anno, e verterà sugli argomenti del programma del corso tenuto negli scorsi anni dal Prof. A. Pellegrinotti.
Testo Primo esonero
Soluzioni
Risultati
Testo Secondo esonero
Soluzioni
Risultati
Testo Primo Appello
Soluzioni
Risultati
Testo Secondo Appello
Soluzioni
Risultati
Testo Primo Appello
Soluzioni
Risultati
Testo Secondo Appello
Risultati
Testo Appello di Settembre
Risultati
Testo
Risultati
Testo
Risultati
Testo
Risultati
Risultati
Risultati
Risultati
Risultati
- Bibliografia e Testi consigliati
- [G] Giusti, E.: Analisi Matematica 2, Terza Edizione, Bollati Boringhieri, 2003.
- [GE] Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Secondo, Prima Edizione, Bollati Boringhieri, 1992
- [FMS] Fusco, M.; Marcellini, P.; Sbordone, C.: Analisi Matematica due, Prima Edizione, Liguori Editore, 1996
- [MS] Marcellini, P.; Sbordone, C.: Esercitazioni di Matematica, Secondo Volume, Parte Prima e Parte Seconda, Liguori Editore, 1995
- [G] Giusti, E.: Analisi Matematica 2, Terza Edizione, Bollati Boringhieri, 2003.
Ultima modifica 17/9/2008