AM120 - Analisi matematica 2

AA 2016-2017 - II Semestre

Prof. L. Chierchia

Esercitazioni: Prof. S. Mataloni

Tutorato a cura degli studenti magistrali: Matteo Bruno, Patrizio Caddeo

Indice
Avvisi
Orario delle lezioni II semestre
Programma di massima del corso
Programma dettagliato del corso
Diario delle lezioni (ed esercizi assegnati)
Diario delle esercitazioni
Testi consigliati
Esoneri ed esami

AVVISI

• [1/9/2017] Si noti il cambio di orario dell' appello X del 6/9/17, che sarà 9:30-12:00.

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• [11/7/17] Si informa che presentandosi all'orale in due appelli successivi, l'esito del secondo esame verrà comunque verbalizzato.
• [8/5/17] Scaricare il file definizione-integrale-generalizzato.pdf e svolgerne gli esecizi.
• [5/5/17] Il testo dell'Es 2 del file "Numerabilità, insiemi di misura nulla e Teorema di Vitali-Lebesgue" è stato corretto: scaricare la ultima versione del 5/5/17.
• [3/5/17] Scaricare il file Numerabilità, insiemi di misura nulla e Teorema di Vitali-Lebesgue e svolgerne gli esecizi.
• [26/4/17] Scaricare il file funzioni-semplici.pdf e svolgerne gli esecizi.
• [3/4/17] Scaricare il file funzione_convesse.pdf e svolgerne gli esercizi.
• [8/3/17] L'orario di ricevimento è il mercoledì 16-18 (studio 210).
• [1/3/17] L'orario del tutorato è il mercoledì 14-16 in aula B3.

Programma di massima del corso
Differenziabilità, derivata e sue interpretazioni. Regole per il calcolo di derivate. Derivata e monotonia. I teoremi fondamentali sulla derivabilità (Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange). Teoremi di Bernoulli-Hopital. Punti critici. Derivata seconda. Funzioni convesse. Studio qualitativo di funzioni. Derivate successive e fomula di Taylor (teorema di Peano). Uso della formula di Taylor nel calcolo di Limiti.
L'integrale di Riemann: somme parziali, integrabilità. Classi di funzioni integrabili (funzioni monotone, funzioni continue e a tratti). Calcolo di primitive. Il teorema fondamentale del calcolo. Resto integrale nella formula di Taylor. Integrali impropri; confronto con serie. Serie di Taylor. Funzioni analitiche e funzioni C^∞.

Programma dettagliato e diario delle lezioni
• Lezioni 1 e 2 [27/2/17] Definizione di derivata e sua interpretazione geometrica e cinematica. Esempi (derivata di xⁿ, e^x, log x, sen x, cos x, sh x, ch x). Linearità della derivata. Una funzione derivabile in y è continua in y. Esempi di funzioni non derivabili (|x| e segno(x) in x=0). Regole di derivazione: derivata del prodotto, reciproco, composizione e funzione inversa (enunciati); dimostrazione della regola per il prodotto, il reciproco e la funzione inversa.
  [G2]: cap 4, par 6 e 7; cap 5, par 1 e 2.
  Esercizi assegnati: Es A1 Dimostrare che se f è definita in un intervallo ed esistono a e b tali che f(x)= a + b (x-x₀) + o (x-x₀) allora f è derivabile in x₀ e f(x₀)=a e f'(x₀)=b.
  [GE, cap 6]: 12-15, 17. [D]: 368-374; 382-385; 390-400; 401-404.

• Lezioni 3 e 4 [1/3/17] Relazione tra derivata e monotonia. Teorema di Fermat sui punti critici. Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange. Corollari del teorema di Lagrange.
  [G2, cap 4, par 8]
  Esercizi assegnati: Es A2 Trovare una funzione f: [0,1] → R continua su [0,1], derivabile in (0,1), non costante e con infiniti punti critici in (0,1).
  [GE, cap 6]: 1-32; 51-77; 80, 85, 88, 90, 101, 105, 107, 111-124.
  [D] : 811-855.

• Lezioni 5 e 6 [6/3/17] Teoremi di l'Hôpital-Bernoulli: Teorema 1.1 [G2, cap 6, par 1].
  Esercizi assegnati: Es A3 Sia g(x)=x² sen (1/x) per x ≠ 0 e g(0)=0. Dimostrare che g è derivabile su tutto R ma che non esiste il lim_{x → 0} g'(x).

• Lezioni 7 e 8 [8/3/17] Teoremi di de l'Hôpital-Bernoulli (il caso punto di accumulazione in ± ∞ tramite il cambio di variabile x=1/y e il caso "infinito su infinito"): completare [G2, cap 6, par 1] incluso esercizi.
  Dimostrazione alternativa (senza l'uso di limsup) del Teorema 1.2 di [G2, cap 6, par 1]
  Esercizi assegnati: [D]: 776-809.

• Lezioni 9 e 10 [13/3/17] Definizione di primitiva. Esempi. Elenco delle primitive elementari. Le funzioni circolari e le funioni iperboliche inverse.
  Scaricare il file file.pdf
  Esercizi assegnati: Svolgere gli esercizi del file.pdf

• Lezioni 11 e 12 [15/3/17] Enunciato del teorema fondamentale dell'algebra e sue conseguenze sulla fattorizzazione complessa e reale (nel caso di polinomi a coefficienti reali). Primitive di funzioni razionali P/Q con Q polinomio con radici reali.
  Esercizi assegnati: esercizi da [G2], [GE] e [D] sul calcolo di primitive di funzioni razionali P/Q con Q polinomio con radici reali.

• Lezioni 13 e 14 [20/3/17] Calcolo di primitive per parti ("integrazione per parti") e per sostituzione ("cambio di variabile nell'integrazione"). Esempi ed esercizi.
  Esercizi assegnati: Svolgere almeno 150 esercizi (di diverse topologie) sull'integrazione indefinita da [D] e 50 da [GE].
  termini pos
• Lezioni 15 e 16 [24/3/17] Derivate successive: le funzioni C^k(I) e C^∞(I); |x|x^k è C^k(R) ma non C^k+1(R).
  Il prododotto di funzioni derivabili k volte è derivabile k volte; formula per la derivata di ordine k. La composizione di funzioni derivabili k volte è derivabile k volte (dimostrazione diretta nei casi k=1,2,3).
  La funzione f(x):=exp(-1/x) per x>0 e f(x):=0 per x ≤ 0 è una funzione C^∞(R).
  Derivata seconda e condizioni necessarie e sufficienti max e min locali.
  [G2, cap 6, par 2]
  Esercizi assegnati: Gli esercizi di [G2, cap 6, par 2]. [GE, cap 6, par 3]: es 45-50. [GE, cap 6, par 5] 111-124.
  Es: Dimostrare che la composizione di funzioni C^k è C^k nei casi k=1,2,3,4,5.

• Lezioni 17 e 18 [27/3/17] Definizione analitica di retta e segmento. Definizione di convessità. Esempio: |x| è convessa su R. Condizione necessaria in termini di rapporto incrementale. Una funzione convessa ammette derivate destre e sinistre ed è, quindi, continua.

• Lezioni 19 e 20 [29/3/17] Il bi-rapporto incrementale (definizione e simmetria). Caratterizzazione della convessità in termini del bi-rapporto incrementale. Una funzione differenziabile è convessa se e solo se la sua derivata è crescente. Una funzione differenziabile è convessa se e solo se i suoi valori sono maggiori o uguali del valore corrispondente di una qualunque retta tangente al suo grafico. Una funione derivabile due volte è convessa se e solo se ha derivata seconda non negativa. Stretta convessità e sue caratterizzazioni.
  Esercizi assegnati: [G2, cap 6, par 3]: 3.1-3.4. [GE, cap 6, par 9]: 257, 258, 259, 260.

• Lezioni 21 e 22 [3/4/17] Studio del grafico di una funzione [G2, cap 6, par 4].
  Esercizi assegnati: [G2, cap 6, par 4]: Es 4.1-4.4.
  [GE, cap 6, par 10]: 261-286.
  [D]: 916-992.

• Lezioni 23 e 24 [5/4/17] Teorema di Taylor [G2, cap 6, par 5 fino a Teorema 5.1 incluso]. Formula di Taylor con resto di Lagrange: se f è Cⁿ⁺¹(a,b) e x₀ ∈ (a,b), allora R_n(x;x₀)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(y) (x-x₀)ⁿ⁺¹/(n+1)! per un y opportuno tra x e x₀ ( dimostrazione : attenzione in questo file T_n(x):=P_n(x;x₀) denota il polinomio di Taylor di ordine n; il Teorema 7.34 di [B] è il Teorema di Taylor [G2, Teorema 5.1]).
  Esercizi assegnati: [GE, cap 6] 222-230.

• Lezioni 25 e 26 [19/4/17] Teoria dell'integrazione di Riemann. Funzioni semplici e loro rappresentazioni. Le funzioni semplici sono chiuse rispetto a somma, prodotto, massimo, minimo. Integrale delle funzioni semplici; buona posizione della definizione. [G2, cap 4. sez 2].

• Lezioni 27 e 28 [24/4/17] Proprietà del'integrale delle funzioni semplici: l'integrale è un funzionale lineare e positivo sullo spazio S delle funzioni semplici; disuguaglianza con i moduli. Lo spazio vettoriale delle funzioni limitate e a supporto compatto S; integrale di Riemann superiore ed inferiore su S; integrale di Riemann e le funzioni integrabili secondo Riemann. Esempi (funzioni semplici); controesempi (la funzione caratteristica dei razionali tra 0 e 1).
  Esercizi assegnati: Es 1 discutere la rappresentazione canonica delle funzioni semplici in termini dei punti di discontinuità.
  Es 2 Descrivere il supporto di una funzione semplice (suggerimento: usare l'Es 1).
  Es 3 Dimostrare che l'integrale è un funzionale suriettivo su R ma non iniettivo.

• Lezioni 29 e 30 [26/4/17] Caratterizzazione dell'integrabilità secondo Riemann [G2, Proposizione 3.1] e tramite successioni (monotone).
  Gli insiemi delle funzioni semplici, delle funzioni Riemann integrabili e delle funzioni limitate a supporto compatto sono delle algebre (spazi vettoriali chiusi rispetto al prodotto).
  L'integrale di Riemann (come mappa dalle funzioni Riemann integrabili ai numeri reali) è un funzionale lineare, positivo che conserva l'ordine.
  Se f è integrabile, lo sono anche f_±, |f|. L'integrale del modulo è minore o uguale del modulo dell'integrale.
  [G2, cap 4, par 3 incluso esercizi]
  Esercizi assegnati: Svolgere gli esercizi del file funzioni-semplici.pdf.
  Es 1 Dimostrare che la funzione caratteristica dell'insieme {0} è integrabile, che il suo integrale vale 0 ma che non è una funzione semplice.
  Es 2 Sia E={1/n: n naturale} e sia f la sua funzione caratteristica. Dimostrare che f è integrabile e che il suo integrale vale 0.
  Es 3 Sia f(x)=x g(x) dove g è la funzione caratteristica di [0,1]. Dimostrare che f è integrabile e calcolarne l'integrale usando la Proposizione 3.2 di [G2].

• Lezioni 31 e 32 [28/4/17] Integrabilità su intervalli. Integrabilità delle funzioni continue e limitate. Integrabilità delle funzioni continue a tratti (ossia con un numero finito di discontinuità). Insiemi di misura nulla ed enunciato del teorema di Vitali-Lebesgue [ Una funzione limitata su un intervallo è integrabile secondo Riemann se e solo se il suo insieme di discontinuità è di misura nulla].
  [G2, cap 4, par 4 e 5]; Numerabilità, insiemi di misura nulla e Teorema di Vitali-Lebesgue
  Esercizi assegnati: Svolgere gli esercizi del file Numerabilità, insiemi di misura nulla e Teorema di Vitali-Lebesgue.

• Lezioni 33 e 34 [3/5/17] Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo (varie formulazioni). Formula del cambio di variabili ed integrazione per parti in integrali definiti. Integrali su intervalli simmetrici rispetto a 0 di funzioni pari/dispari. Definizione di dominio normale [ossia, un sottoinsieme di R² della forma {(x,y): x ∈ [a,b] e g(x) ≤ y ≤ f(x)}] e di area [se D è un dominio normale con g e f integrabili su [a,b), area(D):= ∫_a^b (f-g)].
  Teorema Se D è il cerchio unitario {(x,y): x²+ y² ≤ 1}, area(D)=π.
  [G2, cap 4, par 9]
  Esercizi assegnati: Tutti gli esercizi su integrali definiti da [D] e [GE].
  Es 1 Se f:A -> R, si definisce l'oscillazione di f su A la quantità (in R^*) osc(f;A)=sup_A f - inf_A f. Dimostrare che osc(f;A)=sup_{x,y∈ A} |f(x)-f(y)|.

• Lezioni 35 e 36 [5/5/17] Formula di Taylor con resto integrale [G2, cap 6, par 5, Teorema 5.2]. Sviluppi di Taylor delle funzioni elementari [G2, cap 6, par 6, fino a metà p. 252].
  Esercizi assegnati: Es 6.1 e 6.6 [G2, par 6].

• Lezioni 37 e 38 [8/5/17] Sviluppo di Taylor di (1+x)^a (finire [G2, cap 6, par 6 e 7]). Integrale in senso generalizzato [G2, cap 6, par 8]. Le funzioni integrabili in senso generalizzato su (a,b) formano uno spazio vettoriale ma non un'algebra (controesempi).
  Esercizi assegnati: Esercizi dei par 6 e 7 di [G2, cap 6].
  Es 1 Dimostrare che se f è integrabile in [c,d) per ogni a < c < d < b e |f| è integrabile in senso generalizzato su (a,b) allora lo è anche f e si ha |∫_a^bf| ≤ ∫_a^b|f|.
  

• Lezioni 39 e 40 [10/5/17] Criteri di convergenza per integrali generalizzati [G2, cap 6, par 9].
  Esercizi assegnati: Esercizi del par 8 e 9 di [G2, cap 6].
  Esercizi del file .

• Lezioni 41 e 42 [15/5/17] Somme di Riemann. Lunghezza di grafici e lunghezza della circonferenza unitaria. Criterio di convergenza serie-integrali (o "criterio integrale per serie a termini positivi": vedi [B], Teorema 9.1).
  Esercizi assegnati: Tutti gli esercizi del par 8, cap 7 [GE]; generalizzare l'Es 134 di p. 207 sostituendo a sen x una funzione integrabile con primitiva limitata.

• Lezioni 43 e 44 [17/5/17] Approssimazioni di grafici con poligonali. Proprietà geometriche di seno e coseno.
  Somme di Riemann, lunghezza di grafici e funzioni trigonometriche (svolgerne gli esercizi).

• Lezioni 45 e 46 [22/5/17] Formula di Stirling

• Lezioni 47 e 48 [24/5/17] Calcolo dell'integrale di Gauss.
  La composizione di funzioni C^k è C^k (dimostrazione)

Diario delle esercitazioni ( le parti in corsivo sono di teoria )
• Esercitazioni 1 e 2 [28/2/17] Dimostrazioni delle regole di derivazione (rapporto, composizione, funzione inversa) [G2, cap 5 completo, incluso esercizi].

• Esercitazione 3 [2/3/17] Svolgimento di esercizi assegnati.

• Esercitazione 4 e 5 [7/3/17] Svolgimento di esercizi da [GE] assegnati (calcolo di derivate; calcolo di max e min relativi/assoluti; problemi di ottimizzazione geometrica).

• Esercitazione 6 [9/3/17] Esercizi su disugualianze (usando il metodo dei massimi e minimi). Esercizi sull'uso dei teoremi di de l'Hôpital-Bernoulli (specialmente il caso di limite per x → a ≠ 0 e il caso di forma indeterminata ∞/∞).

• Esercitazioni 7 e 8 [14/3/17] Calcolo di primitive: una primitiva di funzioni della forma F'(f) f' è data da F(f). Esempi.

• Esercitazione 9 [16/3/17] Calcolo di primitive: la primitiva di funzioni razionali (caso generale) [G2, cap 5, par 3 incluso esercizi]

• Esercitazioni 10 e 11 [21/3/17] Esercizi vari sul calcolo di primitive.

• Esercitazione 12 [23/3/17] Classi di funzioni di cui si riescono a calcolare esplicitamente le primitive
  [G2, cap 5, par 7]

• Esercitazioni 13 e 14 [28/3/17] Calcolo di integrali indefiniti: sostituzioni speciali.

• Esercitazione 15 [30/3/17] Esercizi svolti su: calcolo di derivate di ordine k con k arbitrario; funzioni convesse.

• Esercitazioni 16 e 17 [4/4/17] Svolgimento di esercizi di preparazione al primo esonero.

• Esercitazione 18 [6/4/17] Svolgimento di esercizi di preparazione al primo esonero.

• Esercitazioni 19 e 20 [20/4/17] Svolgimento di esercizi da [GE] sullo studio di funzioni.

• Esercitazione 21 [27/4/17] Esercizi sulla formula di Taylor.

• Esercitazioni 22 e 23 [2/5/17] Esercizi sulla formula di Taylor per funzioni composte. Uso della formula di Taylor per il calcolo di limiti.

• Esercitazione 24 [4/5/17] Es 2 del file Numerabilità, insiemi di misura nulla e Teorema di Vitali-Lebesgue. Integrali definiti.

• Esercitazioni 25 e 26 9/5/17] Calcolo di integrali definiti e aree.

• Esercitazione 27 [11/5/17] Studio di integrali generalizzati (che non si calcolano esplicitamente).

• Esercitazioni 28 e 29 [12/5/17] Esercizi su funzioni integrali (grafici, limiti, etc.). Esercizi su integrali generalizzati.

• Esercitazioni 30 e 31 [16/5/17] Esercizi su grafici e integrali.

• Esercitazione 32 [18/5/17] Esercizi su integrali generalizzati.

• Esercitazioni 33 e 34 [19/5/17] Esercizi di riepilogo.

• Esercitazioni 35 e 36 [23/5/17] Esercizi di preparazione all'esonero.

Esoneri ed esami

I Esonero: Ven 14/4/17; 9:00-11:00, aula F.
Testo e soluzioni esercizi originali

II Esonero: Lun 29/5/17; 9:00-11:00, aula B3.
Testo e soluzioni esercizi originali
È possibile sostenere un preappelllo orale il 14/6/17 alle ore 16:00 (Studio 210): per prenotarsi mandare una mail entro venerdì 9/6/17.

Appello A: Lun 26/6/17; 9:00-11:00, aula B3.
Testo e soluzione esercizio originale
Visione scritto ed esame orale: mercoledì 28/6/17, ore 16:00, aula 211

Appello B: Ven 14/7/17; 9:00-11:00, aula B3.
Testo
Visione scritto: lunedì 17/7/17, ore 17:45, studio 211
Esame orale: martedì 18/7/17, ore 16:00, aula 211

Appello X: Mer 6/9/17; 9:30-12:00, aula B3.

Appello C: Lun 15/1/18; 9:00, aula B3.

Testi consigliati
[G2] Giusti, E.: Analisi Matematica 1, Seconda Edizione Bollati Boringhieri, 1991 (edizione fuori commercio)
[B] Bertsch, Dal Passo, Giacomelli - Analisi Matematica - McGraw-Hill (2011) - piattaforma Connect (esercizi a scelta multipla)
[GE] Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 2000
[D] Demidovich, B.P., Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 2010

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Altri testi
[O] John M.H. Olmsted The Real Number System , 1962, 216 pages
[G3] Giusti, E.: Analisi Matematica 1, Terza Edizione Bollati Boringhieri, 2002
[R] Rudin, W.: Principi di analisi matematica, Milano 1991 (edizione fuori commercio)

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: luigi@mat.uniroma3.it