AM430 - Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

AA 2019-2020 - I Semestre

Prof. Luigi Chierchia

Indice
Avvisi
Orario delle lezioni
Programma di massima del corso
Diario delle lezioni
Diario delle esercitazioni
Testi consigliati
Lista esercizi assegnati
Esoneri ed esami

AVVISI

• [4/6/2020] Modalità di esame per l'appello del 24/6/2020:
  1) tutti gli studenti di laurea e laurea magistrale devono prenotarsi per l'esame su GOMP.
  2) i candidati dovranno comunicarmi tramite mail (usare preferibilmente la mail ufficiale user@stud.uniroma3.it) l'intenzione di sostenere l'esame entro l'11/6/20.
  3) il 14/6/20 comunicherò ad ogni candidato (in reply al messaggio che avrò ricevuto) tre esercizi assegnati durante le lezioni ( lista esercizi assegnati ).
  4) Il candidato mi invierà (sempre per mail) il pdf delle soluzioni a tali esercizi entro le 24 del 21/6/20.
  5) Il 24/6/20 alle ore 15:30 i candidati verranno convocati tramite Teams per una discussione orale basata sugli esercizi assegnati.
  6) L'esito dell'orale verrà - in ogni caso - registrato su GOMP.

  ---

• [31/1/20] Lista esercizi assegnati
• [26/11/19] Ho corretto il testo degli esercizi della lezione del 25/11: nuovo file .
• Scaricare la nuova versione del file Riassunto sulla forma canonica di Jordan ed esercizi e risolvere l'Es 1 seguendo la nuova traccia.
• [23/10/19] Ho corretto un errore di stampa e aggiunto un esercizio al file degli ultimi esercizi (scaricare nuovo file )
• [15/10/19] Attenzione: nel testo dell'Esercizio assegnato il 10/10/19 mancava un'ipotesi (ossia f e g vanno assunte localmente lipschitziane nella prima variabile); ho messo in rete il testo corretto da riscaricare.
• [11/10/19] Le prossime esercitazioni si svolgeranno in aula M1 anziché M4.
• [22/9/19] Le esercitazioni si terranno a settimane alterne il venerdì (9-11, Aula M4) a partire da venerdì 27/9/19.
• [3/9/19] Le modalità d'esame cosisteranno in un seminario su un argomento deciso assieme e sulla valutazione di esercizi svolti a casa.

Programma di massima del corso

Il problema di Cauchy: teoremi di esistenza, unicità? (locali e globali).
Sistemi ed equazioni di ordine superiore: sistemi lineari; equazioni e sistemi a coefficienti costanti.
Analisi qualitativa per equazioni autonome del secondo ordine: piano delle fasi; oscillatori armonici; onde solitarie; perturbazioni (cenni).
Problemi al contorno per equazioni del secondo ordine: autovalori, autofunzioni; funzione di Green; problemi al contorno non lineari (cenni).
Stabilità: sistemi conservativi; funzioni di Lyapunov; linearizzazione.
Possibili complementi:
(a) Introduzione alle equazioni di Eulero-Lagrange e calcolo delle variazioni.
(b) Serie e trasformate di Fourier.
(c) Introduzioni ai sistemi Hamiltoniani.

Diario delle lezioni
• Lezioni 1 e 2 [23/9/19] Lemma delle contrazioni di Banach-Caccioppoli. Teorema di esistenza e unicità locale del problema di Cauchy (come corollario del Lemma delle contrazioni).
  Esercizi: da [T]: Problemi 1.9, 1.11, 1.12, 1.13, 1.14, 1.16, 1.18, 1.19, 1.21, 1.22, 1.23, 1.25.

• Lezioni 3 e 4 [26/9/19] Teorema di Picard di esistenza e unicità locale del problema di Cauchy (con stima del tempo di esistenza indipendente dalla constante di Lipschitz).
  Non unicità e teorema di Peano.
  Esercizi: Es Sia Φ l'operatore di Picard. Trovare c_n > 0 tale che ∥Φⁿ(u)-Φⁿ(v)∥ ≤ c_n ∥u-v∥ con {c_n} sommabile.

• Lezioni 5 e 6 [30/9/19] Svolgimento dettagliato del Problema 1.9 (soluzione esplicite nei vari casi al variare del dato iniziale e del parametro c e discusasione qualitativa).
  Esercizio: fare l'analisi qualitativa (ossia dedurre le proprietà della soluzione, senza calcolarla esplicitamente, dall'equazione differenziale e dal teorema di esistenza e unicità) nel caso c > 1/4 e x₀ > 1/2 (nella notazione usata in classe a > 0 e y₀ > 0).

• Lezioni 7 e 8 [3/10/19] Lemma di Gronwall (varie formulazioni). Alcune conseguenze immediate: unicità; dipendenza Lipschitziana dai dati iniziali con costante di Lipschitz exp(L |t -t₀|); "buona posizione" del problema di Cauchy.
  Esercizio

• Lezioni 9 e 10 [7/10/19] Dipendenza C^k dai dati iniziali e da parametri delle soluzioni del problema di Cauchy.
  Soluzioni locali e soluzioni massimali; soluzioni globali.

• Lezioni 11 e 12 [10/10/19] Soluzioni massimali del problema di Cacuhy con equazione u'=u² (al variale dei dati iniziali).
  Caratterizzazione dell'estensibiltà di soluzioni locali in termini di successioni. Comportamento di soluzioni massimali agli estremi dell'intervallo di esistenza.
  Esercizi Discutere l'unicità e le soluzioni massimali dell'equazione u'=|u|^a con a > 1.
  Esercizi da [T]: 2.18, 2.19, 2.20.
  Esercizio

• Lezioni 13 e 14 [14/10/19] Spazi di matrici (come spazi e algebre di Banach). Funzioni di matrici: serie geometrica, esponenziale. Commutatore di matrici e proprietà dell'esponenziale [incluso derivata di exp(A t)].
  Sistemi di equazioni lineari. Esistenza e unicità globale. Picard e la soluzione esponenziale.
  Esercizi

• Lezioni 15 e 16 [17/10/19] Calcolo esplicito dell'esponenziale di matrici 2 x 2. Formula di Liouville (relazione tra traccia e determinante). Ritratto di fase di sistemi due per due.
  Esercizio

• Lezioni 17 e 18 [21/10/19] Forma canonica di Jordan (1).
  Definizioni ed esercizi (versione corretta del 23/10/19)

• Lezioni 19 e 20 [24/10/19] Forma canonica di Jordan (2).

• Lezioni 21 e 22 [28/10/19] Stabilità di sistemi lineari a coeefficienti costanti. Forma canonica di Jordan reale.
  Riassunto sulla forma canonica di Jordan ed esercizi (versione del 2/11/19 con traccia per la soluzione dell'Es 1)

• Lezioni 23 e 24 [31/10/19] Varieta stabile, instabile e centrale di sistemi lineari; il caso 2 x 2.
  Esercizi

• Lezioni 25 e 26 [4/11/19] Sistemi lineari a coefficienti non costanti.

• Lezioni 27 e 28 [7/11/19] Metodo di riduzione di D'Alembert. Soluzione generale di equazione scalari di ordine a coefficienti non costanti non autonome.
  Esercizi

• Lezioni 29 e 30 [14/11/19] Sistemi dinamici: flussi e mappe. Un esempio di sistema dinamico discreto: le rotazioni rigide del cerchio; caratterizzazione delle orbite.
  Esercizi da [T]: 6.3, 6.6.

• Lezioni 31 e 32 [15/11/19] Teoria di Floquet (seminario studenti).

• Lezioni 33 e 34 [18/11/19] Punti fissi, orbite chiuse e non chiuse. Flussi lineari su T². Raddrizzamento di flussi. Flussi completi e omega-limit sets: proprietà generali. Stabilità e stabilità asintotica. Esempio di punto fisso instabile ma che attrae nel futuro un suo intorno. Paradigmi di biforcazione.
  Esercizi
  Esercizi da [T]: 6.8, 6.9, 6.10, 6.14, 6.16.

• Lezioni 35 e 36 [21/11/19] Stabilità asintotica di punti fissi con Jacobiano del campo vettoriale con autovalori con parte reale strettamente negativa.
  Funzioni di Liapunov.
  Esercizio: dimostrare la stabilità asintotica nel caso di funzione di Liapunov stretta.
  Esercizi da [T]: 6.18, 6.19.

• Lezioni 37 e 38 [25/11/19] Introduzione al teorema della curva di Jordan.
  Esercizi (26/11/19)

• Lezioni 39 e 40 [27/11/19] Lemmi 1,2,3 e 4 di Pederson.

• Lezioni 41 e 42 [29/11/19] Teorema di Poincaré-Bendixon ( seminario degli studenti).

• Lezioni 43 e 44 [2/12/19] Teorema dell'arco di curva di Jordan.

• Lezioni 45 e 46 [5/12/19] Parte analitica del teorema della curva chiusa di Jordan.
  Introduzione alla mappe del cilindro in se stesso.
  Esercizio: completare i dettagli dell'Esempio a p. 224 di [T] (dimostrare che la mappa f ha le due curve invarianti indicate, etc.).

• Lezioni 47 e 48 [9/12/19] Omeomorfismi del cilindro e curve invarianti. Mappe integrabili. La famiglia standard. Equazione di "Lagrange" per le orbite. Coniugazione a rotazioni rigide. Enunciato dei teoremi di Mather e Moser.

• Lezioni 49 e 50 [12/12/19] Lagrangiana di Persival. Teorema di Mather: schema di dimostrazione e qualche dettaglio tecnico.
  Mather, Topology 1982 (vedi anche Chierchia, ZAMP 1991 )

• Lezioni 51 e 52 [16/12/19] La trasformata di Laplace e applicazioni alle EDO (seminario degli studenti)
  Iniettività della trasformata di Laplace .
  Il Teorema di approssimazione di Weierstrass .

• Lezioni 53 e 54 [20/12/19] Teorema delle curve invarianti di Moser (schema di dimostrazione).
  Esercizi

• Lezioni 55 e 56 [13/1/20] Applicazioni all'analisi numerica (seminario degli studenti)

• Lezioni 57 e 58 [17/1/20] Equazioni differenziali sul campo complesso (seminario degli studenti)

• Lezioni 59 e 60 [27/1/20] Problemi autoaggiunti (seminario degli studenti)

Diario delle esercitazioni
• Esercitazioni 1 e 2 [27/9/19] Discussione del Problema 1.9.

• Esercitazioni 3 e 4 [11/10/19] Discussione di esercizi.
  Esercizi

• Esercitazioni 5 e 6 [25/10/19] Esercizi sulla forma canonica di Jordan.

Esami

Testi consigliati
[T] Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems , Graduate Studies in Mathematics Volume 140, American Mathematical Society, 2011
[A] Ambrosetti, A.: Appunti sulle equazioni differenziali ordinarie , Springer, 2012
[C] Chierchia, L.: AnalisiMatematica.n , Dispense per i corsi AM210/AM220 - CdL Matematica e Analisi Matematica II - CdL Fisica AA 2018-19

Altri testi
[CL] Coddington E., Levinson N.: Theory of ordinary differential equations , McGraw-Hill, 1955
[PSV] Livio C. Piccinini, Guido Stampacchia, Giovanni Vidossich: Equazioni differenziali in Rⁿ, Liguori, 1978

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: luigi@mat.uniroma3.it