Settimana 2:
Matrici a coefficienti in un anello. Omomorfismi ed endomorfismi di
moduli.
Omomorfismi di moduli liberi. Successioni esatte. Successioni esatte
corte.
Risoluzioni libere (cenni). Algebre. Algebre finite e finitamente
generate.
Dipendenza algebrica.
Esercizi 3 (pdf
dvi).
Settimana 3:
Il Lemma di Zorn. Spettro primo e Spettro massimale di un anello. Il
Teorema
Cinese per gli anelli. The prime avoidance theorem. Anelli locali.
L'anello
delle serie formali in una indeterminata. Ideali primi minimali.
Nilradicale.
Il radicale di un ideale.
Esercizi 4 (pdf
dvi).
Settimana 4:
Parti moltiplicative. Saturazione. L'insieme degli zero-divisori
è
una unione di ideali primi. Il Nilradicale è l'intersezione
di tutti gli ideali primi. Radicale di
Jacobson.
Anelli di frazioni. Anello totale delle frazioni. Localizzazione.
Esercizi 5 (pdf
dvi).
Settimana 5:
Moduli di frazioni. Esattezza della localizzazione. Proprietà
locali.
Estensione e contrazione di ideali.
Esercizi 6 (pdf
dvi).
Settimana 6:
Ideali primari. La condizione della catena ascendente. Moduli e anelli
noetheriani e artiniani. Il teorema di Cohen. Passaggio della
noetherianità
ai quozienti e alle localizazioni.
Esercizi 7 (pdf
dvi).
Settimana 7:
Il Teorema della Base di Hilbert. Decomposizioni primarie di ideali.
Primi
associati. Componenti isolate e componenti immerse. Teoremi di
unicità.
Decomposizione primaria in anelli noetheriani.
Esercizi 8 (pdf
dvi).
Settimana 8: Il Lemma di Nakayama. Cenni sulle varietà algebriche affini. Enunciato e significato del Teorema degli Zeri. Dipendenza Integrale: condizioni equivalenti.
Settimana 9:
Transitività della dipendenza
integrale.
Chiusura integrale e sue proprietà: comportamento nel passaggio
ai quozienti e alle localizzazioni. Cenni sulla noetherianità e
la finitezza della chiusura integrale. Enunciato del Lemma di
Normalizzazione
di Noether. Dimensione della chiusura integrale: Lying over,
Incomparabilità,
Going up, Going down.
Esercizi 9 (pdf
dvi).
Settimana 10:
Domini di valutazione. Domini di valutazione discreta e loro
caratterizzazioni.
Valutazioni discrete. Valutazioni p-adiche. Domini di Dedekind. Cenni
sui
Domini di Krull.
Esercizi 10 (pdf
dvi).
Settimana 11:
La relazione di dominanza. Il Teorema di
Krull sulla chiusura integrale. Ideali frazionari invertibili. Teoria
degli
ideali nei domini di Dedekind.
Esercizi 11 (pdf
dvi).
Settimana 12:
Condizione della catena discendente e proprietà equivalenti.
Moduli
e anelli artiniani. Prime proprietà degli anelli artiniani. Il
Teorema
di Struttura.