AC310 - Analisi Complessa (9 cfu)

[4/9/24] Risultati Appello X
[18/12/23] Il secondo esonero sarà così articolato:
2 esercizi da 15 pt ciascuno di tipo "teorico" su funzioni meromorfe e fratti parziali e su prodotti canonici.
1 esercizio da 10 pt su serie di Laurent.
I rimanenti 60 pt comprendono esercizi sulle mappe conformi così suddivisi:
30 pt esercizi "facili" presi da: Applicazione degli esempi 1-8 di [S, p. 209-212]; esercizi 3-8 e 11-13 del paragrafo 35 di [E]
15 pt un esecizio "intermedio" preso da : esercizi 18, 19, 28 del paragrafo 35 di [E]
15 pt: un esercizio "avanzato" preso da: esercizi 14, 22, 29, 20 del paragrafo 35 di [E].
18/30 corrisponde a 51 pt, 30/30 corrisponde a 85 punti.
[8/11/23] Lunedì 13/11 riporterò gli esoneri valutati.
Martedì 14/11 la lezione è cancellata per concomitanza con il Colloquium di Matematica
[23/10/23] Il primo esonero verterà sugli esercizi assegnati nel Diario delle lezioni/esercitazioni fino al 23/10/23 incluso.
[26/9/23] Ho escluso alcuni esercizi nell'assegnazione del 19/9/23.
[23/8/23] Nel diario delle Lezioni 1 e 2 ho aggiunto un file sull'assiomatica dei numeri complessi che può aiutare a capire la relazione tra R² e C.
Ho anche aggiunto alcuni esercizi elementari sui numeri complessi che bisogna saper fare (sono presi dal testo di esercizi [E] disponibile su internet)
[18/9/23] Ricevimento in aula M3 il martedì dopo la lezione.

Diario delle lezioni/esercitazioni (Se non specificato altrimenti, i riferimenti sono al testo [S])

Lezioni 1 e 2 [18/9/23] Cap 1 fino a Proposizione 2.2 inclusa.
Esercizi Cap 1: Es 1, 2, 3, 7. Esercizi assegnati in classe.
Assiomatica del campo complesso
Esercizi elementari: Da [E] Es 1.06, 1.13, 1.21, 1.25, 1.58
Lezioni 3 e 4 [19/9/23] Cap 1 fino a Teorema 2.6 escluso. Il teorema 2.4 si generalizza a funzioni differenziabili (non serve C^1) e quindi si ottiene una caratterizzazione delle funzioni olomorfe (ossia, f= u +i v è differenziabile in senso complesso in se e solo se u e v sono differenziabili e valgono le equazioni di Cauchy-Riemann).
Esercizi Completare tutti dettagli del Teorema 2.5 (in particolare i casi R=0 e R=infinito).
Es dal capitolo 1: dal 7 al 23 (inclusi), esclusi: 15, 16 (e) e (f), 21 e 22.
Lezioni 5 e 6 (Esercitazioni) [21/9/23] Discussione di esercizi assegnati.
Lezioni 7 e 8 [25/9/23] Dal Teorema 2.6 alla fine del par 3.
Esercizi Es 24 e 26.
Esercizi da [E]: 3.02, 3.14, 3.23, 3.63, 3.65.
Lezioni 9 e 10 [26/9/23] Una funzione continua ha una primitiva se e solo se il suo integrale su un qualunque ciclo è nullo (vedi Materiale aggiuntivo). Par 1, Cap 2 (Teorema di Goursat). Il Teorema di Cauchy per insiemi convessi e stellati (vedi Materiale aggiuntivo: questo materiale à alternativo alla Sez 2 del Cap 2).
Lezioni 11 e 12 (Esercitazioni) [28/9/23] Discussione di esercizi assegnati incluso Esercizi elementari aggiuntivi ai cap. 1 e 2
Lezioni 13 e 14 [2/10/23] Cap 2, sez 3 e 4 (fino al Teorema 4.1. incluso).
Esercizi Es 1-6 del cap 2 (nell'esercizio 6 assumere che il triangolo T sia chiuso e contenuto in Omega).
Esercizi da [E]: 10.23.
Lezioni 15 e 16 [3/10/23] Cap 2, tutto il paragrafo 4.
Esercizi Es 7 e 9 del cap 2.
Lezioni 17 e 18 (Esercitazioni) [5/10/23] Discussione di esercizi assegnati.
Lezioni 19 e 20 [9/10/23] Continuazione analitica (vedi fine par 4, cap 2). Par 5 del cap 2: tutto tranne par 5.5.
Esercizi Es 12 (a), Es 15.
Due esercizi aggiuntivi al cap 2 ("Es 16 e 17")
Es "essenziale": Sia a un numero compesso diverso da 0. Si dimostri che per ogni r > 0 esistono (infinite) soluzioni di e^1/z= a con z in {w: 0< |w| < r}. (0 è una singolarità essenziale per e^1/z).
Lezioni 21 e 22 [10/10/23] Definizione di singolarità rimovibili ed essenziali; teoremi di Riemann e Casorati Weierstrass ( pag 74 bis e Teorema 3.3, cap 3). Zeri e poli (sez 1, cap 3). Residui (sez 2, cap 3).
Esercizi Es 1-8, cap 3. Es del par 28 di [E].
Lezioni 23 e 24 (Esercitazioni) [12/10/23] Discussione di esercizi assegnati.
Lezioni 25 e 26 [16/10/23] Funzioni meromorfe (es. 1/sen z): funzioni meromorfe su C^*; la sfera di Riemann; principio dell'argomento e Teorema di Rouché [cap 3, da p. 86 a p. 91].
Esercizi: (1) Trovare le espressioni analitiche della mappa stereografica e della sua inversa (cfr. p. 88).
Es 23.09 di [E]. Esercizi (1) da [A]
Lezioni 27 e 28 [17/10/23] Teorema della mappa aperta. Teorema del massimo modulo. Omotopie. Teorema di Cauchy su regioni semlicemente connesse [fine par 4 e par 5 del cap 3].
Dimostrazione della affermazione sul ricoprimento di curve vicine nella dimostrazione del Teorema 5.1
Lezioni 29 e 30 (Esercitazioni) [19/10/23] Discussione di esercizi assegnati.
Lezioni 31 e 32 [23/10/23] Il logaritmo complesso [sez 6, cap 3]. I rami del logaritmo complesso.
Es: 9-12.
Esercizio di omotopia
Esercizio (Gli altri rami del logaritmo complesso) Sia A una regione semplicemente connessa di C che contenga 1 e non contenga 0. Sia F una funzione olomorfa su A tale che exp(F)=z, per ogni z in A. Dimostrare che esiste un intero n tale che F(z)=log_A(z)+ 2πi n, per ogni z in A.
Esercizio (logaritmo di funzioni) Sia f una funzione olomorfa su una regione semplicemente connessa A che non assuma mai il valore 0. Dimostrare che esiste una funzione g olomorfa su A tale che f=exp(g). Quante funzioni esistono con tale proprietà?
Esercizio (ramo principale di potenze complesse) Sia A una regione semplicemente connessa che contenga 1 e non contenga 0 e sia a un qualunque numero complesso. Definiamo il ramo principale di z^a come exp(a log_A z). Sia A = C - (-∞,0] e sia f(z)=zⁱ. Si determini il valore di f(i)=iⁱ.
Lezioni 33 e 34 (Esercitazioni) [23/10/23] Discussione di esercizi assegnati.
Lezioni 35 e 36 (Esercitazioni) [26/10/23] Discussione di esercizi assegnati.
Traccia per l'Es 12 cap 3
Lezioni 37 e 38 [30/10/23] Serie di Weierstrass-Laurent.
Esercizi: (da [E]) 20.01, 20.06, 20.08, 20.09, 20.12, 20.16.
Lezioni 39 e 40 (Esercitazioni) [2/11/23] Discussione di esercizi assegnati.
Nota sull'Es 9 cap 3 di [S]: questo esercizio non ha molto senso: si fa facilmente in R vedi file
Lezioni 41 e 42 (Esercitazioni) [6/11/23] Esercitazione scritta.
Lezioni 43 e 44 (Esercitazioni) [13/11/23] Discussione di esercizi.
Lezioni 45 e 46 [16/11/23] Proprietà elementari delle serie di Laurent: raggi di convergenza; le serie di Laurent sono funzioni olomorfe all'interno del loro anello massimale di convergenza. Esempi.
Teorema di Fourier-Laurent-Weierstrass sulle serie di Fourier di funzioni periodiche analitiche.
Appunti presi in classe (da Francesco)
Lezioni 47 e 48 [20/11/23] Funzioni meromorfe ed espansione in fratti parziali: Teorema di Mittag-Leffler. Esempi e formule notevoli.
Appunti
Esercizi Es 1 e 3 da [A] p. 190 . Da [E]: Es 27.06 (1, 2 e 4) e Es 27.08 (4).
Lezioni 49 e 50 [21/11/23] (Esercitazioni) Discussione di esercizi assegnati.
Lezioni 51 e 52 [24/11/23] Prodotti infiniti: par 2.2. [A] fino a Theorem 5 incluso; svolgimento Es 1 e 2 di p. 193 (vedi [A] p. 190-199 )
Esercizi : Es 1, 2, 3 [A] p. 193. Es: dimostrare questa affermazione .
Lezioni 53 e 54 [27/11/23] Prodotti canonici e Teorema di Weierstrass ( [A] par 2.3, cap. 5 )
Esercizi
Lezioni 55 e 56 [28/11/23] (Esercitazioni) Discussione di esercizi assegnati.
Lezioni 57 e 58 [30/11/23] Funzioni conformi (bi-olomorfe): [S] cap 8, fino a par 1.1 incluso.
Esercizio: Sia f (non costante) olomorfa su un aperto U e sia w un punto di U. Trovare r > 0 tale che f '(z) ≠ 0 per ogni 0 < |z-w|< r.
Lezioni 59 e 60 [4/12/23] Le trasformazioni conformi conservano gli angoli tra curve. Il gruppo delle trasformaioni lineari fratte. Discussione di esempi di mappe conformi. Lemma di Schwarz [E, cap. 8, lemma 2.1].
Esercizi: Discutere le mappe della Figura 1, p. 213 di [E] (incluso il comportamento alla frontiera).
Lezioni 61 e 62 [5/12/23] Mappe di Möbius sulla sfera di Riemann. Le mappe di Möbius mandano rette o cerchi in rette o cerchi. Date due triple di punti distinti sulla sfera di Riemann esiste una unica mappa di Möbius che manda la prima terna sulla seconda. Gli automorfismi del dico unitario. (vedi Materiale aggiuntivo e [S, cap 8, par 2.1])
Esercizi : Fare almeno 1,2 esercizi dei 35 gruppi di esercizi del par 35 di [E] (la maggior parte degli esercizi del secondo esonero saranno presi tra questi).
Lezioni 63 e 64 [7/12/23] Teorema di Montel. [S, cap 8, par 3.2].
Lezioni 65 e 66 [11/12/23] Proposizione 3.5, cap 8 di [S]. Dimostrazione del teorema della mappa di Riemann (par 3.3, cap 8, [S]).
Lezioni 67 e 68 (Esercitazioni)[12/12/23] Discussione di esercizi assegnati.
Lezioni 69 e 70 [18/12/23] Numero di avvolgimenti di una curva. Caratterizzazione della semplice connessione [S, Appendice B, sez 1, solo enunciati tranne Theorem 1.1 e Lemma 1.3 con dimostrazioni].
Esercizio sugli automorfismi del semipiano
Lezioni 71 e 72 (Esercitazioni)[19/12/23] Discussione di esercizi assegnati.
Lezioni 73 e 74 (Esercitazioni)[8/1/24] Esercitazione scritta.

Materiale aggiuntivo

Curve in C

Primitive (pag 23 bis)

Il Teorema di Cauchy per insiemi convessi e stellati

Esercizi elementari aggiuntivi ai cap. 1 e 2

Teorema di Weierstrass-Laurent.

Mappe di Möbius.

Esoneri ed esami (tutti gli esoneri/esami saranno i lunedì 9-11 in aula M3 salvo altro avviso)

Primo esonero : 6/11/23
Testo con risposte

Secondo esonero : 8/1/24
Testo con risposte

Appello A : 15/1/24
Testo con soluzioni
risultati

Appello B : 5/2/24
Testo con soluzioni
Risultati: 546911=27; 559162=24; 560482=18.

Appello C : 10/6/24

Appello X : 2/9/24
Testo e soluzioni
Risultati: 559162=27; 575885=27; 560482=27; LR=21.

Testo consigliato

[S] Elias M. Stein, R. Shakarchi, Complex Analysis, Princeton University Press, 2003

Altri testi

[A] Ahlfors, Lars V, Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. Third edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill Book Co., New York, 1978. xi+331 pp. ISBN 0-07-000657-1

[L] Lang, Serge Complex analysis. (English summary) Fourth edition. Graduate Texts inMathematics, 103. Springer-Verlag, New York, 1999. xiv+485 pp. ISBN 0-387-98592-1

[P] Pap, Endre Complex Analysis Through Examples and Exercises Kluwer Texts in the Mathematical Sciences, V. 21 (Hardcover, 1999)

[E] M. Evgrafov, Coll, Recueil de problèmes sur la théorie des fonctions analytiques, Traduction francaise, Editions Mir, 1974