GE110: Geometria 1

A.A. 2009-2010

Pagina soggetta a continui aggiornamenti

Docente: Prof.ssa Lucia Caporaso - Ricevimento: martedi e giovedi 13:00-14:00 Ufficio: 108

Tel: 06 5733 8040 - E-mail: caporaso[nospam]@mat.uniroma3.it

Orario delle lezioni: martedi e giovedi 11-13, aula B3.

Esercitazioni: Dr. Carmelo Finocchiaro - Ricevimento: Venerdi 13-15:30 Ufficio 201. - Orario esercitazioni: mercoledi 14-15 venerdi 9-11 aula B3.

Tutorato: Matteo Acclavio e Luca Dell'Anna - Orario tutorato: lunedi 14-16 aula B3.

Testo: Edoardo Sernesi: Geometria 1, Bollati Boringhieri (2000)

ESONERI e ESAMI

AVVISO IMPORTANTE: Per effettuare le prove d'esame bisogna essere provvisti di un documento, ed è obbigatoria la prenotazione on-line. Durante gli esoneri e gli esami scritti non è consentito l'uso di testi, appunti o calcolatrici.

Esonero 1 - 15 Aprile ore 11-13 Aule F, G e B3 Soluzioni (pdf)

Esonero 2 - 27 Maggio ore 11-13 Aule B3 e F Testo e Soluzioni (pdf)

  • Voti Esoneri 1 e 2 *** Lista studenti esonerati

    ESAMI:

    Scritto A. 11 Giugno ore 11-13 Aule B3 e G. Testo esame con soluzione. - Risultati complessivi

    Orale A - Verbalizzazione studenti esonerati. 14 Giugno Studio 108: ore 12 Studenti A-L, Ore 13 Studenti M-Z

    Orale A - Esami orali. 16 Giugno ore 10, Aula 009.

    Scritto B. 16 Luglio ore 11-13 Aula B3 Testo esame con soluzione. - Risultati complessivi

    Orale B - Esami orali e verbalizzazione. Martedi 20 Luglio ore 11, Stanza 108.

    Scritto X. 9 Settembre ore 11-13 - Aula F Testo esame con soluzione. Risultati complessivi

    !!! Orale X - Esami orali e verbalizzazione. Martedi 14 Settembre ore 11, Stanza 108.

    Diario giornaliero delle lezioni:

  • Lezioni del 23/2: Richiami: definizione di Gruppo e di Campo. Campo dei numeri reali, n-spazio vettoriale sui reali: interpretazione geometrica della somma di vettori.

    Definizione di uno Spazio Vettoriale su un Campo. Esempi.

    Lezioni del 25/2: Matrici ad entrate in un campo K. Rappresentazione dei vettori dell'n-spazio vettoriale su un campo K come matrici colonna. Somma di Matrici. K-Spazio vettoriale delle matrici con m righe e n colonne.

    Definizione di prodotto righe per colonne di matrici. Matrici quadrate, matrici diagonali. Esempi.

    Tutorato 1

    Lezioni del 2/3: Matrici trasposte. Matrici simmetriche e antisimmetriche. Proprietà del prodoto di matrici. Matrici nilpotenti.

    Matrici invertibili e gruppo GL(n,K). Invertibilità di matrici diagonali. Definizione di sistema lineare e matrice dei coefficienti associata.

    Lezioni del 4/3: Sistemi lineari e loro rappresentazione matriciale, sistemi lineari omogenei. Spazio vettoriale delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo.

    Risoluzione di sistemi a gradini.

    ESERCIZI 1 (pdf)

    Tutorato 2

    Lezioni del 9/3: Soluzioni di un sistema e del suo sistema omogeneo associato. Operazioni elementari su sistemi e su matrici. Metodo di Gauss-Jordan per la risoluzione di sistemi lineari.

    Sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale. Sottospazio generato da un vettore. Intersezione, unione e e somma di sottospazi vettoriali.

    Lezioni del 11/3: Somma diretta di sottospazi vettoriali. Sottospazi generati da insiemi di vettori. Combinazioni lineari.

    Insiemi di vettori linearmenti dipendenti e linearmente indipendenti. Proprietà e esempi. Definizione di base finita di uno spazio vettoriale.

    Tutorato 3

    Lezioni del 16/3: Sistemi di generatori di spazi vettoriali ed estrazione di una base. Basi finite e infinite; esempi. Equipotenza di basi finite e definizione della dimensione di uno spazio vettoriale.

    Lezioni del 18/3: Sistemi linearmente indipendenti e loro completamento ad una base. Dimensione di sottospazi. Formula Grassmann vettoriale.

    ESERCIZI 2 (pdf)

    Tutorato 4

    Lezioni del 23/3: Coordinate di un vettore rispetto ad una base (finita o infinita). Determinante di una matrice quadrata ad entrate in un campo: definizione, proprietà e esempi.

    Lezioni del 25/3: Rango per righe e rango per colonne di una matrice. Dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo in termini del rango per colonne (Teorema di Rouche'-Capelli per sistemi omogenei). Rango per righe è uguale al rango per colonne. Teorema: una matrice quadrata è invertibile se e solo se ha rango massimo, se e solo se ha determinante diverso da zero.

    Tutorato 5

    Lezioni del 30/3: Calcolo del rango per mezzo delle sottomatrici quandrate di una matrice. Teorema di Kronecker-Rouche'-Capelli. Esempi.

    Lezione del 31/3: Sviluppo del determinante secondo le righe, o le colonne. Applicazioni: matrici triangolari, calcolo dell'inversa di una matrice quadrata.

    ESERCIZI 3 (pdf)

    Tutorato 6

    Lezioni del 8/4: Regola di Cramer. Calcolo del rango secondo il principio dei minori orlati. Determinante di Vandermonde.

    Lezioni del 20/4: Spazi affini: definizioni ed esempi.

    Lezioni del 22/4: Sottospazi affini di spazi affini. Sottospazi affini assciati a sistemi lineari. Parallelismo di sottospazi affini. Posizione relativa di sottospazi paralleli.

    Tutorato 7

    Lezioni del 27/4: Sottospazi affini generati da punti: rette, piani, iperpiani. Sistemi di coordinate affini. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini.

    Lezioni del 29/4: Esistenza di equazioni cartesiane e procedura per determinarle. Intersezione di sottospazi affini. Formula di Grassmann. Esempi.

    Tutorato 8

    ESERCIZI 4: Ricapitolazione sulla geometria affine. (pdf)

    Lezioni del 4/5: Trasformazioni lineari tra spazi vettoriali. Trasformazioni lineari definite tramite basi. Isomorfismo di spazi vettoriali: due spazi vettoriali di dimensione finita sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione Matrice associata ad una trasformazione lineare. Esempi.

    Lezioni del 6/5: Spazio vettoriale Hom(V,W) delle trasformazioni lineari dallo spazio vettoriale V allo spazio vettoriale W. Trasformazioni lineari definite da matrici. Isomorfismo tra Hom(V,W) e lo spazio delle matrici con dimW righe e dimV colonne. Esempi.

    Tutorato 9

    Lezioni del 11/5: Corrispondenza tra automorfismi di uno spazio vettoriale di dimensione finita e matrici invertibili. Nucleo e immagine di una trasformazione lineare; caratterizzazione di trasformazioni lineari iniettive tramite il nucleo. Teorema ``nullità più rango". Il rango di una trasformazione lineare coincide con il rango della matrice associata.

    Lezioni del 13/5: Cambiamento di basi di spazi vettoriali; trasformazione di equazioni cartesiane di sottospazi vettoriali tramite cambiamenti di base. Esempi. Spazio vettoriale duale di uno spazio vettoriale. Base duale di una base

    ESERCIZI 5 (pdf)

    Lezioni del 18/5: Matrici simili. Matrici diagonalizzabili e operatori diagonalizzabili. Esempi. Autovettori, autovalori e spettro di un operatore lineare.

    Tutorato 10

    Lezioni del 20/5: Autospazio associato ad un autovalore. Polinomio carattersitico di una matrice e di un operatore lineare. Terorema di caratterizzazione di operatori diagonalizzabili. Un operatore con autovalori distinti è diagonalizzabile. Esempi.

    Lezioni del 21/5: Molteplicità geometrica e algebrica di autovalori. Criterio di diagonalizzabilità per operatori lineari su spazi vettoriali complessi. Traccia di una matrice e sua invarianza per similitudine. Esempi.

    Tutorato 11

    Lezioni del 25/5: Cambiamenti di coordinate affini. Isomorfismi tra spazi affini. Affinita. Esempi e proprietà di base.

    Tutorato 12

    ESERCIZI 6 (pdf)