AM120-Analisi Matematica 2 (CdL Mat, 9 cfu, cod: 20410388)
Analisi Matematica I, Mod. 2 (CdL Fis, 6 cfu, cod: 20410616)

[22/6/23] Informazioni sugli orali delle sessioni di giugno e luglio: chi ha superato esoneri/scritti deve sostenere l'orale entro Luglio (la data esatta verrà comunicata in seguito). Chi sostiene l'orale nell'appello A e non registra l'esito deve rifare lo scritto.
Il voto dello scritto non viene mantenuto per gli appelli X o C.
In ogni caso bisogna prenotarsi su GOMP per l'appello in cui si vuole sostenere l'orale.

[17/3/23] Si noti il cambio di orario di ricevimento del Prof. Chierchia e la data fissata per il primo esonero.

[26/2/23] Il tutorato comincerà martedì 28/2/23.

[26/2/23] Si segnala il link Programma dettagliato di AM110 (AA 22-23, Prof. Esposito, I sem) : in particolare le parti teoriche nel programma di AM110 fanno parte integrante anche del programma di AM120 (e quindi, in generale, non verranno svolte nuovamente in AM120).

[17/2/23] Il corso comincerà il 20/2/23 (aula M2, ore 8:30).

Orario delle lezioni/esercitazioni

Ricevimento

qui

Informazioni generali sul corso

Obiettivi formativi generali
Acquisire una buona conoscenza dei teoremi principali dell'Analisi Matematica su R e delle relative tecniche di dimostrazione e sviluppare e approfondire tecniche applicative sugli argomenti più "avanzati" (serie contenenti parametri reali, integrali generalizzati (impropri) contenenti parametri, polinomi e serie di Taylor e loro uso nel calcolo di limiti, limsup e liminf, uniforme continuità).
In particolare, verranno riprese tutte le definizioni introdotte nel primo semestre e verranno dimostrati tutti i risultati enunciati nel primo semestre (vedi anche parti in rosso sugli appunti di AM110-aa 21/22)
Il corso avrà un carattere principalmente teorico. Gli esercizi verteranno principalmente su: serie contenenti parametri reali, integrali generalizzati (impropri) contenenti parametri, polinomi e serie di Taylor e loro uso nel calcolo di limiti, limsup e liminf, uniforme continuità).
Organizzazione del corso
Date le caratteristiche del corso, non ci sarà una distinzione formale tra lezioni ed esercitazioni (gli esercizi verranno discussi contestualmente alle lezioni).
Differenziazione dei percorsi nei due corsi di laurea
L'esame per il CdL in Matematica è da 9 cfu, quello per il CdL in Fisica da 6 cfu: la differenza in crediti verrà rispecchiata dai diversi programmi da portare all'esame: il numero di dimostrazioni da portare all'orale per i fisici sarà circa 2/3 di quello per i matematici. Gli esami scritti sono in comune e non vi è alcuna differenza a livello di frequenza.
Tutorato
Il tutorato va inteso come "luogo" dove studiare (teoria ed esercizi), avendo a disposizione i tutori a cui chiedere eventualmente suggerimenti e chiarimenti.
Modalità d'esame
L'esame consiste in un test scritto ed un colloquio orale. In ogni appello (A, B, C ed X) ci sarà uno scritto e un orale.
Per svolgere il colloquio orale è necessario superare il test scritto.
Durante le lezioni (e quindi prima dell'appello A) ci saranno due "esoneri": il superamento degli esoneri equivale a superare il test scritto.
Superati esoneri o scritto degli appelli A o B, è possibile sostenere l'orale sia nell'appello A sia nell'appello B. Per gli appelli C e X, gli scritti e l'orale vanno tenuti contestualmente (in altri termini, non si può sostenere l'orale nell'appello successivo a quello in cui si è superato lo scritto).
I test scritti consisteranno in esercizi su: serie contenenti parametri reali, integrali generalizzati (impropri) contenenti parametri, polinomi e serie di Taylor e loro uso nel calcolo di limiti, limsup e liminf, uniforme continuità
Modalità d'esame per iscritti all'AA 2020-21 e AA precedenti
Vedi qui

Diario delle lezioni/esercitazioni

^**

Lezioni 1 e 2 [20/2/23] Gli assiomi dei numeri reali. Unicità degli elementi neutri. Unicità di opposto e reciproco. Teorema: 0 ∙ x= 0 , per ogni x in R [vedi par 1.2 e 1.3].
Lezioni 3 e 4 [22/2/23] Teorema^*: 1 > 0 [Proposizione 1.11, (v)]. Valore assoluto e sue proprietà [par 1.3.1, da (i) a (vi)].
Lezioni 5 e 6 (Esercitazione) [23/2/23] Discussione di esercizi alla lavagna.
Definizione di N, Z e Q. "Principio di induzione" (Proposizione 1.22).
Lezioni 7 e 8 [24/2/23] Proposizione 1.24. Proposizione 1.25^*. Corollario 1.26. Proposizione 1.27^**. Proposizione 1.28^**. Teorema di ricorsione^** e definizioni ricorsive. Esempio: sommatoria. Definizione di insieme limitato, maggiorante, minorante massimo e minimo. Proposizione 1.27^**. Esempio: {x in R: 0 < x <1 } non ha massimo o minimo. Media aritmetica tra due numeri [Definizione 1.18].
Esercizi assegnati fare gli esericizi sull'induzione su questo file
Lezioni 9 e 10 [27/2/23] Proposizione 1.36. Proposizione 1.37. Esercizio 1.18 svolto. Somme geometriche (Proposizione 1.39 e 1.40).
Esercizi assegnati: Da [C]: Es 1.5, 1.6, 1.7, 1.11, 1.12, 1.13, 1.16, 1.17.
Lezioni 11 e 12 [1/3/23] Definizione di xⁿ con n intero negativo (e x diverso da 0).
Estremo superiore e inferiore [par 1.6, tutto]. Proposizione 1.95 e 1.97 (proprietà archimedea). Parte intera e parte frazionaria di un numero reale. Densità dei razionali in R. [par 1.7 tutto]
Esercizi assegnati: Da [C]: 1.35, 1.36, 1.39, 1.40.
Lezioni 13 e 14 [2/3/23] Coefficienti binomiali. Formula del binomio di Newton.
Appunti
Lezioni 15 e 16 [3/3/23] Teorema sull'esistenza ed unicità delle radici ennesime (Teorema 1.103^*). Potenze con esponente razionale e loro proprietà (Proposizione 1.111).
Esercizi assegnati Da [C]: 1.29 (!), 1.35 (!), 1.36 (!), 1.43 (!), 1.45, 1.47, 1.48, 1.49, 1.50, 1.51.
Lezioni 17 e 18 [6/3/23] Definizioni di: retta estesa, intervallo, intorno, punti interni, punti isolati, punti d'accumulazione. [par 2.1, 2.2, 2.3]
Esercizi assegnati Da [C]: Es da 2.1 a 2.6.
Es(!): si verifichino le (1.74), (1.75), (1.76).
Lezioni 19 e 20 [8/3/23] Definizione generale di limite. Teorema di permanenza del segno. Proposizione 2.18. Prima parte del teorema ponte (Proposizione 2.41). Svolgimento Es 2.9-(iv) (due modi).
Esercizi assegnati Da [C]: da 2.7 a 2.11.
Lezioni 21 e 22 [9/3/23] Discussione di esercizi sui par 2.3 e 2.4.
Appunti
Lezioni 23 e 24 [10/3/23] Limiti laterali ed esistenza dei limiti laterali per funzioni monotòne [par 2.5].
Esercizio: Provare che se f: A -> R è crescente, x_o è un punto di accumulazione da sinistra per A, L=sup{f(x)| x ∈ A con x < x_o}, e V è un intorno di L, allora esiste x₁ < x_o, x₁ ∈ A , tale che f(x₁) ∈ V. [Suggerimento: discutere separatamente i casi in cui L è un numero oppure +∞]
Lezioni 25 e 26 [13/3/23] Algebra dei limiti [par 2.6 tutto; Proposizione 2.28^*]
Lezioni 27 e 28 [15/3/23] Successioni. Limiti notevoli (par 2.7.1). Numero di Nepero: Lemma 2.36^* [tutto fino a par 2.7.2 incluso]. Svolgimento Es 2.38.
Esercizi assegnati: da [C]: 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, 2.13, 2.14, 2.17, 2.19, 2.20, 2.21 (!).
Lezioni 29 e 30 [16/3/23] Lemma: per ogni n ∈ N si ha: e (n/e)ⁿ ≤ n! ≤ e n (n/e)ⁿ; per n > 1, le disuguaglianze sono strette.
Discussione di esercizi.
Appunti
Lezioni 31 e 32 [17/3/23] Caratterizzazione di sup/inf tramite successioni. Caratterizzazione di punti di accumulazione tramite successioni. Teorema ponte [par 2.7.3].
Funzioni continue: definizione (ed equivalenza con ε e δ). Teorema di permanenza del segno per funzioni continue [Par 2.8 fino a Corollario 2.50 escluso].
Punti di discontinuità [Par 2.8.2].
Esercizi assegnati: Es Sia y un punto di accumulazione da sinistra di A. Si mostri che esiste una successione strettamente crescente x_n in A tale che x_n -> y.
Da [C]: Es 2.26, 2.27.
Lezioni 33 e 34 [20/3/23] Teorema dell'esistenza degli zeri per funzioni continue su intervalli (dimostrazione "algoritmica"). Teorema di esistenza del "primo zero" per funzioni continue su intervalli. Teoremi dei valori intermedi per funzioni continue. Le funzioni continue trasformano intervalli in intervalli [Par 2.8.1].
Esercizio assegnato: Sia I un qualunque intervallo non chiuso e limitato (ossia non della forma [a,b]) e sia J un qualunque intevallo. Far vedere che esiste una funzione f continua su I e tale f(I)=J.
Lezioni 35 e 36 [22/3/23] Limiti di funzioni composte^* [par 2.9]. Limiti di funzioni inverse (Proposizione 2.64).
Continuità per funzioni inverse: Teorema^* Una funzione strettamente monotona definita su un intervallo reale ha inversa continua (dimostrazione).
Proposizione 2.68^**. Teorema 2.69.
Lezioni 37 e 38 [23/3/23] Continuità di: |x|, parte positiva/negativa di x, max{f,g}, min{f,g}, x^r su [0,∞), r razionale positivo.
Discussione di esercizi.
Appunti
Lezioni 39 e 40 [24/3/23] Esponenziali e logaritmi: definizioni e proprietà. Proposizione 3.4^*, Proposizione 3.8. [Par 3.1, 3.2]
Esercizi assegnati: Es 3.1, 3.14.
Lezioni 41 e 42 [27/3/23] Limiti notevoli [Par 3.5 incluso Es 3.8]. Funzioni iperboliche e loro inverse [Par 3.3 e 3.4 .
Esercizi assegnati: Es 3.4, 3.5, 3.6, 3.7. Esercizio : si calcoli limite per x -> ∞ di x^a A^{x^b} per a > 0, 0 < A < 1, b > 0.
Lezioni 43 e 44 [29/3/23] Definizioni e prime proprietà delle serie (Proposizione 4.8), Criterio del confronto per serie a termini positivi (Proposizione 4.21), Criterio della radice (Proposizione 4.22), Criterio del rapporto (Proposizione 4.25). Criterio di Leibniz per serie a segni alterni: dimostrazione diretta
Lezioni 45 e 46 [30/3/23] Criterio di condensazione (Proposizione 4.28^*) [Par. 4.3]. Definizione analitica di seno e coseno. Limiti notevoli in 0. Teorema di addizione per il coseno (Teorema 5.10^*; la dimostrazione verrà fatta a fine corso). Definizione analitica di pi greco [prima parte Par 5.2.3]
Lezioni 47 e 48 [31/3/23]
Appunti
Lezioni 49 e 50 [3/4/23] Fine della discussione delle proprietà elementari del seno e coseno [tutto Par 5.2.3].
Insiemi finiti e infiniti; cardinalità; numerabilità. N è infinito (due dimostrazioni). Q è numerabile.
Esercizi assegnati: Es 1 Dimostrare le formule di triplicazione del seno e del coseno. Calcolare (rigorosamente) i valori del seno e coseno in π/3 e π/6.
Es 2 Dare un algoritmo per numerare Q (attenzione quello descritto in classe conteneva un errore! quale?). Secondo il vostro algoritmo, trovare k tale a_k=-5/3.
Lezioni 51 e 52 [5/4/23] Sottosuccessioni (successioni estratte). Insieme dei limiti di una successione. Esempio di una successione con insieme dei limiti uguale a R*. Teoremi di Bolzano-Weierstrass (file).
Esercizi assegnati da [C]: Es 6.1, 6.2, 6.4.
Esercizi su limsup e liminf 1 , Esercizi su limsup e liminf 2
Lezioni 53 e 54 [6/4/23]
Appunti
Lezioni 55 e 56 [12/4/23] Successioni di Cauchy [par 6.2 tutto]. Insiemi aperti e insiemi chiusi (topologia standard di R). Caratterizzazione degli insiemi chiusi tramite successioni [Lemma 6.23 e Proposizione 6.24].
Esercizi assegnati da [C]: Es 6.9.
Lezioni 57 e 58 [13/4/23] Esericizi su serie con parametri e su limsup/liminf.
Lezioni 59 e 60 [14/4/23] Chiusura, interno e frontiera di un insieme. Insiemi compatti (per successioni). Un sottoinseme di R è compatto se e solo se ` chiuso e limitato. Sottoinsiemi compatti di R hanno massimo e minimo. Le funzioni continue mandano compatti in compatti. Teorema di Weierstrass. Funzioni uniformemente continue e teorema di Heine-Cantor^*. [Par 6.3.2, 6.4.2 e 6.4.4]
Lezioni 61 e 62 [24/4/23] Caratterizzazione delle funzioni uniformemente continue su insiemei limitati [Proposizione 6.48 e Corollario 6.52]. Teorema della farfalla [Proposizione 6.49].
Regole di derivazione [Par 7.2, la Proposizione 7.11 è con *].
Lezioni 63 e 64 [26/4/23] Teoremi elementari sulle derivate: Fermat, Rolle, Cauchy e Lagrange [Par 7.3]. Corollari di Lagrange (una funzione con derivata nulla su un intervallo è costante; una funzione con derivata limitata su un intervallo è lipschitziana e quindi uniformemente continua).
Lezioni 65 e 66 [27/4/23] Esercizi su funzioni uniformemente continue.
Appunti
Lezioni 67 e 68 [28/4/23] Teorema di Bernoulli-Hopital. Polinomio e resto di Taylor di ordine n. Teorema di Peano. Resto in forma di Lagrange^*.
Scaricare nuovo file (29/4/23) (include unicità dei polinomi di Taylor^**) e fare l'esercizio finale.
Lezioni 69 e 70 [3/5/23] Convessità.
Scaricare file (La Proposizione nel file è asteriscata)
Lezioni 71 e 72 [4/5/23] Esercizi su espansioni di Taylor/MacLaurin
Lezioni 73 e 74 [5/5/23] Ordine totale tra intervalli disgiunti. Insiemi elementari e loro misura [vedi IntegrazioneRiemann.1 (dove sono segnati anche gli asterischi)]
Lezioni 75 e 76 [8/5/23] Funzioni a scalini e il loro intergrale [vedi IntegrazioneRiemann.2 ]
Lezioni 77 e 78 [10/5/23] Funzioni integrabili second Riemann e il loro integrale [vedi IntegrazioneRiemann.3]
Lezioni 79 e 80 [11/5/23] Criterio di integrabilità per partizioni [dal file IntegrazioneRiemann.3]. Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone [Par 8.14, 8.1.5]
Appunti
Lezioni 81 e 82 [12/5/23] Teorema fondamentale del calcolo [Par 8.2]. Integrali generalizzati o impropri [par 8.3 fino a 8.3.2]
Lezioni 83 e 84 [15/5/23] Criteri di integrabilità impropria.
Convergenza uniforme di somme di coseni [vedi registrazione].
(sen x)/x è una funzione integrabile (ma non assolutamente integrabile) in senso improprio su R. [Par 8.3 escluso 8.3.3].
Lezioni 85 e 86 [17/5/23] Definizione di area. Calcolo dell'area del cerchio di raggio 1.
Integrazione per sostituzione e per parti nell'integrale di Riemann.
Formula di Taylor con resto integrale.
Lezione 87 [18/5/23] Esercizi sugli integrali impropri contenenti parametri
Lezione 88 [18/5/23] Dimostrazione del teorema di addizione per il coseno (assumendo che si possa scambiare l'ordine delle serie) [Teorema 5.10]
Lezioni 89 e 90 [19/5/23] Teorema discreto di Fubini^* [Proposizione 5.11] e conclusione della dimostrazione del Teorema 5.10.
Funzioni C infinito non identicamente nulle e a supporto compatto [Proposizione 8.36^**]
Lezioni 91 e 92 [22/5/23] Irrazionalità del numero di Nepero e e di pi greco^** [vedi file]
Lezioni 93 e 94 [24/5/23] Esercizi vari di preparazione al secondo esonero.
Lezione 95 [25/5/23] Esercizi vari di preparazione al secondo esonero.
Lezione 96 [25/5/23] Non numerabilià di R (due dimostrazioni^**). Espansioni decimali^**.
Lezioni 97 e 98 [26/5/23] Esercizi vari di preparazione al secondo esonero.
Lezioni 99 e 100 [29/5/23] Esercizi vari di preparazione al secondo esonero.
Lezioni 101 e 102 [31/5/23] La funzione di van der Waerden: un esempio di funzione continua mai derivabile^** [file]

Esoneri ed esami

Esonero 1: 20/4/23
Testo con soluzioni
Gli errori più comuni sono stati i seguenti:
applicazione dei criteri di convergenza per serie a termini positivi a serie con termini non sempre positivi
errori nella soluzione della disuglianza fratta |(x-3)/(x+2)|<1
errori legati alle proprietà delle funzioni iperboliche
mancata discussione dei possibili valori della successione a_n={n²/5}
Scelta di N nell'esercizio 6.

Esonero 2 e pre-appello : 8/6/23
Testo con soluzioni

Appello A : 19/6/23
Testo con soluzioni

Appello B : 17/7/23 ore 9 Aula M1

Appello X : 12/9/23 Aula M1
Testo con soluzioni
Risultati scritto del 12/9/23

Appello C : 15/1/24 Aula M1
Testo con soluzioni
Risultati scritto del 15/1/24

Testi consigliati

[C] Chierchia, L.: Corso di analisi, prima parte. Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su R; McGraw-Hill, 2019, 390 pagine

[R] Rudin, W.: Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw Hill, 1976

Esercizi

[Rm3.x] Esercizi@RomaTre.x

[Rm3.y] Esercizi@RomaTre.y

[AB] Amar, M.; Bersani, A.: Analisi Matematica I, Esercizi e richiami di teoria, LaDotta, 2013

[B] Bramanti, M.: Esercitazioni di Analisi Matematica 1 Esculapio, 2011

[GE] Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 2000

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: luigi.chierchia@uniroma3.it

AM120-Analisi Matematica 2 (CdL Mat, 9 cfu, cod: 20410388) Analisi Matematica I, Mod. 2 (CdL Fis, 6 cfu, cod: 20410616)

AA 2022-2023 - II Semestre

DOCENTI: Proff. Luigi Chierchia , Michela Procesi

TUTORI: Laura Fagotto, Matteo Pandolfi

AVVISI

AM120-Analisi Matematica 2 (CdL Mat, 9 cfu, cod: 20410388)
Analisi Matematica I, Mod. 2 (CdL Fis, 6 cfu, cod: 20410616)