AM120-Analisi Matematica 2 (CdL Mat, 9 cfu)
Analisi Matematica I, Mod. 2 (CdL Fis, 6 cfu)

[22/1/25] Visione scritto Appello X ed esami orali: venerdì 24/1/25, ore 9:00, Aula M1.
risultati scritto Appello X
[26/6/24] Per sostenere lo scritto nell'Appello B (1/7/24) mandare entro venerdì 28/6/24 una mail con soggetto "scritto appello B".
Ricordo che è comunque necessaria l'iscrizione all'Appello del 1/7/24 tramite GOMP.
[11/6/24] Per sostenere l'orale nell'Appello A (24/6) bisogna essere prenotati su GOMP all'appello di giugno e mandarmi una mail di prenotazione con soggetto "orale appello A".
Per sostenere l'orale nell'Appello B (8/7) bisogna essere prenotati su GOMP all'appello di luglio e mandarmi una mail di prenotazione con soggetto "orale appello B".
[11/6/24] È possibile vedere lo scritto dell'appello A domani mercoledì 12/6 alle ore 11 nel mio studio.
[25/5/24] Modalità di svolgimento degli esami delle sessioni di giugno e luglio:
Contestualmente al secondo esonero ci sarà un preappello a cui potranno partecipare tutti.
Gli orali dell'Appello A si svolgeranno a partire dal 24/6 mattina.
Gli orali dell'Appello B si svolgeranno a partire dall'8/7 mattina.
Chi supera esoneri o scritto dell'Appello A può sostenere l'orale nell'Appello B.
Negli Appelli C e X scritto e orale vanno sostenuti nello stesso appello (in particolare, gli scritti degli Appelli A e B non valgono a settembre).
Si ricorda che per la partecipazione agli scritti è necessaria la prenotazione su GOMP.
[5/6/24] È possibile visionare gli elaborati dell'esame del 3/6/24 domani 6/6/24 in aula C (Fisica) alle 12.
Il 30 e 31 maggio ci saranno due tutorati in preparazione del secondo esonero.
[13/5/24] Giovedì ci sarà esercitazione (M2, 14-16) e venerdì 17/5/24 ci sarà tutorato in aula (M1, 14-16).
[6/5/24] Giovedì 9/5/24 ci sarà lezione (al posto del tutorato).
[26/4/24] Giovedì 2/5/24 ci sarà lezione (al posto del tutorato).
[23/4/24] È possibile visionare l'esonero domani 24/4 alle 13 nel mio studio (non dopo la lezione per via del "Tè di matematica" che comincia alle 16).
[23/4/24] Venerdì 26/4/24 non ci sarà lezione.
[16/4/24] Domani 17/4/24 alle ore 17 al blocco Aule sarà possibile visionare gli elaborati del primo esonero (i cui risultati sono stati inviati tramite GOMP tramite e-mail ufficiale).
[5/4/24] Martedì 9/4/24 si terrà in classe una esercitazione scritta in preparazione del primo esonero con correzione alla lavagna (portare materiale per scrivere; il testo verrà fornito tramite la chat di Teams).
[3/4/24] ATTENZIONE: si ricorda che per poter sostenere l'esonero del 15/4/24 è necessaria la prenotazione su GOMP
[26/2/24] Il tutorato comincerà giovedì 29 febbraio in aula M2, ore 14-16.

Orario delle lezioni/esercitazioni

Le lezioni/esercitazioni si svolgeranno in Aula M1 ogni: lunedì (9:00-11:00), martedì (9:00-11:00), mercoledì (14:00-16:00); venerdì (14:00-16:00)
Il tutorato si svolgerà in aula M2 ogni giovedì (14:00-16:00)

Ricevimento

previa prenotazione via mail almeno un giorno prima

Informazioni generali sul corso

Obiettivi formativi generali
Acquisire una buona conoscenza dei teoremi principali dell'Analisi Matematica su ℝ e delle relative tecniche di dimostrazione e sviluppare e approfondire tecniche applicative sugli argomenti più "avanzati" (incluso, in particolare: serie contenenti parametri reali, integrali impropri contenenti parametri, limsup e liminf,uniforme continuità, etc.).
Organizzazione del corso
Date le caratteristiche del corso, non ci sarà una distinzione formale tra lezioni ed esercitazioni (gli esercizi verranno discussi contestualmente alle lezioni).
Differenziazione dei percorsi nei due corsi di laurea
L'esame per il CdL in Matematica è da 9 cfu, quello per il CdL in Fisica da 6 cfu: la differenza in crediti verrà rispecchiata dai diversi programmi da portare all'esame: il numero di dimostrazioni da portare all'orale per i fisici sarà circa 2/3 di quello per i matematici. Gli esami scritti sono in comune e non vi è alcuna differenza a livello di frequenza.
Tutorato
Il tutorato va inteso come "luogo" dove studiare (teoria ed esercizi), avendo a disposizione i tutori a cui chiedere eventualmente suggerimenti e chiarimenti.
Modalità d'esame
L'esame consiste in un test scritto ed un colloquio orale. In ogni appello (A, B, C ed X) ci sarà uno scritto e un orale.
Per svolgere il colloquio orale è necessario superare il test scritto.
Durante le lezioni (e quindi prima dell'appello A) ci saranno due "esoneri": il superamento degli esoneri equivale a superare il test scritto.
Superati esoneri o scritto degli appelli A o B, è possibile sostenere l'orale sia nell'appello A sia nell'appello B. Per gli appelli C e X, gli scritti e l'orale vanno tenuti contestualmente (in altri termini, non si può sostenere l'orale nell'appello successivo a quello in cui si è superato lo scritto).
I test scritti consisteranno principalmente (circa il 70%) in esercizi su: serie contenenti parametri reali e integrali generalizzati (impropri) contenenti parametri; il rimanenete 30% circa del test verterà sugli esercizi assegnati.
Modalità d'esame per iscritti all'AA 2020-21 e AA precedenti
Vedi qui

Diario delle lezioni/esercitazioni

^**

Lezioni 1 e 2 [19/2/24] Discussione degli assiomi dei numeri reali. [Par 1.2 e inizio par 1.3]
Esercizi: Es 1. Se A e B sono sottoinsiemi non vuoti di ℝ tali che A ≤ B [ossia, x ≤ y, per ogni x ∈ A e y ∈ B] e sono contingui [ossia, per ogni 0 ≤ a, a ≠ 0, esistono x ∈ A e y ∈ B tali che y ≤ x + a], allora esiste un unico numero s ∈ ℝ tale che x ≤ s ≤ y per ogni x ∈ A e y ∈ B.
Es 2. Sia 2 := 1 + 1 e sia A = { x ∈ ℝ tali che 0 ≤ x e x · x ≤ 2 } e B = { x ∈ ℝ tali che 0 ≤ x e 2 ≤ x · x }. Dimostrare che A ≤ B.
NB: per la soluzione di questi esercizi si assumano i risultati del par 1.3.
Lezioni 3 e 4 [20/2/24] Prorietà algebriche elementari [Par 1.3 tutto (Proposizione 1.11^*)].
Assioma di Dedekind ed estremo superiore/inferiore [Par 1.6; Osservazione 1.92^*].
Esercizi: Es 1.5, 1.6, 1.35, 1.38.
Es: Dimostrare che in generale se A ⊆ ℝ, non vale A ≤ A (e quindi ≤ non è una relazione di ordine tra i sottoinsiemi di ℝ). Vale la proprietà transitiva? Vale la proprietà antisimmetrica?
Lezioni 5 e 6 [22/2/24] Numeri naturali e principio di induzione [par 1.4.1 tutto; Proposizione 1.25^*; Proposizione 1.28^*].
Teorema di ricorsione^** e definizione ricorsive [par 1.4.2]. Somme geometriche e binomio di Newton [par 1.4.2 e 1.4.3]
Esercizi: Es 1.14, 1.15, 1.18!.
Lezioni 7 e 8 [23/2/24] Numeri interi e razionali [Sez 1.5 fino a par 1.5.1]. Radici e potenze con esponente razionale [par 1.8 fino a 1.8.1; Teorema 1.103^*].
Esercizi: Es 1.44, 1.46, 1.47, 1.48 ,1.49, 1.50, 1.51.
Lezioni 9 e 10 [26/2/24] Caratterizzazione di sup e inf [Proposizione 1.93]. Proposizione 1.95 e Proposizione 1.97 (proprietà archimedea). Definizione di parte intera.
Esercizi: Es 1.35, 1.36, 1.38.
Lezioni 11 e 12 [27/2/24] Parte intera, parte frazionaria e densità dei razionali in ℝ [Prop. 1.100]. Dimostrazione della Proposizione 1.25^*; Corollario 1.26; dimostrazione della Proposizione 1.27^*.
Esercizi: Es 1.44.
Es 1: Usando la Proposizione 1.25 si dimostri che tra due interi consecutivi non ci sono interi (ossia, se n ∈ Z e n < x < n+1 allora x ∉ Z).
Es 2: Dimostrare che [x+1]=[x]+1 per ogni x ∈ ℝ ([x]=parte intera di x).
Es 3: Dimostrare che {x+n}={x} per ogni x ∈ ℝ e per ogni n ∈ Z ({x}=parte frazionaria di x).
Es 4: Dimostrare che se {x+a}={x} per ogni x ∈ ℝ, allora a∈ Z.
Lezioni 13 e 14 [28/2/24] Definizioni di: ± ∞, retta estesa (ℝ^*), intervalli, intorni, punti isolati, punti di accumulazione, punti interni, insieme aperto (insieme vuoto o costituito da tutti punti interni), insieme chiuso (complementare di un insieme aperto) [sez 2.1, 2.2 e 2.3]
Esercizi: Es 2.4, 2.5, 2.6!.
Lezioni 15 e 16 [1/3/24] Svolgimento di esercizi assegnati.
Lezioni 17 e 18 [4/3/24] Definizione generale di limite. Unicità del limite. Teorema di permanenza del segno. Teorema del confronto. [par 2.4]
Esercizi: Es 2.9, 2.10, 2.11
Lezioni 19 e 20 [5/3/24] Limiti laterali e funzioni monotòne [file oppure par 2.5]
Esercizi: Fare i tre esercizi del file. Es 4.
Es 2.12, 2.14,
Lezioni 21 e 22 [6/3/24] Insiemi finiti e infiniti [par 1.4.4: Lemma 1.50^*, Corollario 1.51, Proposizione 1.53^*]
Lezioni 23 e 24 [8/3/24] Numerabilità [fine par 1.4.4 e Osservazione 1.68 (numerabilità di Q)]
Esercizio: Si dimostri che N è infinito per assurdo.
Lezioni 25 e 26 [11/3/24] Discussione di esercizi assegnati.
Esercizi sulla definizione di limite (dato epsilon, trovare delta...)
Lezioni 27 e 28 [12/3/24] Discussione di esercizi assegnati (sul calcolo di delta in funzione di epsilon).
Lezioni 29 e 30 [13/3/24] Algebra dei limiti [par 2.6]. Definizione di continuità [Def 2.47 e Osservazione 2.48].
Esercizio 1: Sia n un numero naturale e α un numero reale. Dato ε>0, trovare δ>0 tale |xⁿ- αⁿ|<ε per ogni |x-α|<δ.
Esercizio 2: Sia f(x)= (x³-x/√2 + 3)/(x⁴+x² +1), L=f(-2). Trovare δ >0 tale che |f(x)-L|<1/10⁶ per ogni x tale che |x+2|<δ.
Lezioni 31 e 32 [15/3/24] Definizioni e proprietà (solo enunciati) delle principali funzioni analitiche elementari; vedi file (scaricare il nuovo file del 6/4/24).
Definizione del numero di Eulero e [par 2.7.2, Lemma 2.36^*].
Lezioni 33 e 34 [18/3/24] Definizione di serie [Def 4.6]. Esempi [Esempi 4.1, 4.2, 4.3]. Proprietà elementari [Proposizione 4.8, punti (i), (ii), (iv) e (v). Criteri per serie a termini positivi: confronto, rapporto, radice [Par 4.3.1, 4.3.2, 4.3.3].
Esercizi: Es 4.1 (!). Es 4.4, Es 4.5 (!). Es 4.7, Es 4.8.
Fare 100 esercizi sulle serie a termini positivi presi da [GE], [Rm3.x] o [Rm3.y].
Lezioni 35 e 36 [19/3/24] Discussione di esercizi assegnati.
Lezioni 37 e 38 [20/3/24] Criterio del confronto asintotico [Proposizione 4.21, (ii)].
Discussione di alcuni esercizi di [GE] p. 90 (serie a termini positivi).
Esercizi: Tre esercizi importanti(!)
Lezioni 39 e 40 [22/3/24] Criterio di condensazione di Cauchy^* [par 4.3.4].
Soluzione degli esercizi assegnati il 20/3/24.
Discussione di tutti gli esercizi di [GE] sulle serie numeriche a termini non negativi.
Lezioni 41 e 42 [25/3/24] Serie a termini reali: criterio di convergenza assoluta [Prop 4.8-(vi)]; criterio di Leibniz per serie a segni alterni [vedi file ].
Discussione di esercizi su serie a termini reali.
Esercizi Fare almeno 100 esercizi su serie contenenti parametri da [GE], [Rm3.x] o [Rm3.y], oltre che dai siti di AM120 degli ultimi anni accademici.
Lezioni 43 e 44 [26/3/24] Svolgimento di esercizi su serie con parametri.
Lezioni 45 e 46 [27/3/24] Caratterizzazioni in termini di successioni di: estremo superiore [vedi file]; derivato di un insieme [Proposizione 2.40]; limite di funzioni ("Teorema ponte") [Proposizione 2.41].
Limiti notevoli [Proposizione 2.35 ed estensioni a ℝ tramite monotonìa]
ATTENZIONE: lo svolgimento dell'ultimo esercizio fatto in classe oggi non è corretto [trovare l'errore!]. Per il corretto svolgimento, vedi l'Es (!) assegnato qui sotto.
Esercizi: Fare gli esercizi del file.
Es(!) Studiare al variare del parametro x>0 la serie ∑ x^√n [ Suggerimento].
Lezioni 47 e 48 [3/4/24] Discussione degli esercizi di [GE] sulle serie contenenti parametri.
Lezioni 49 e 50 [5/4/24] Teorema di esistenza degli zeri per funzioni continue [file]. Teorema dei valori intermedi [Teorema 2.53]. Funzioni continue mandano intervalli in intervalli [Corollario 2.54].
Lezioni 51 e 52 [8/4/24] Funzioni continue e intervalli [ file (la Proposizione 1 è con asterisco].
Composizione e limiti [Par 2.58, Proposizione 2.58^*]
Lezioni 53 e 54 [9/4/24] Esercitazione scritta in preparazione del primo esonero con correzione alla lavagna.
Lezioni 55 e 56 [10/4/24] Funzioni esponenziali [file].
Lezioni 57 e 58 [12/4/24] Funzioni logaritmiche [Proposizione 3.8]. Limiti notevoli di funzioni esponenziali/logaritmiche [Par 3.5]
Lezioni 59 e 60 [15/4/24] Esercitazione in classe.
Lezioni 61 e 62 [22/4/24] Serie doppie. Teorema discreto di Fubini (Proposizione 5.11^*). Esempi e controesempi.
Lezioni 63 e 64 [23/4/24] Serie esponenziale (Definizione 5.1). La serie esponenziale coincide con e^x (Teorema 5.3). Irrazionalità di e [vedi file ].
Lezioni 65 e 66 [24/4/24] Espansione in serie delle funzioni iperboliche [Formule (5.6) e dimostrazione p. 145]. Definizione per serie di seno e coseno. Parità delle funzioni trigonometriche; limiti notevoli per x che tende a 0. Fomula di addizione per il coseno [Teorema 5.10^*].
Lezioni 67 e 68 [29/4/24] Definizione analitica di π [ file ]. Proprietà elementari di seno e coseno [incluso: Proposizione 5.17, Teorema 5.19].
Definizione di derivata. Calcolo di alcune derivate elementari (seno, coseno, esponenziali).
Esercizi: svolgere gli esercizi del file (in particolare l'Es 5 è importante).
Lezioni 69 e 70 [30/4/24] Rapporto incrementale; il rapporto incrementale di f è positivo se e solo se f è crescente; se f è crescente e derivabile in x, allora f'(x)≥ 0. [Proposizione 7.20]. Regole di derivazione: derivazione di somma, prodotto, reciproco e rapporto; regola della catena [Proposizione 7.11^*]. Derivata della funzione inversa [Proposizione 7.12^*]. Esempi.
Esercizio: Usando la Proposizione 7.12 si determini la derivata della funzione inversa f^-1 con x -> f(x) data da:
(i) sen x con x∈ [-π/2,π/2];
(ii) sen x con x∈ [π/2,3π/2];
(iii) cos x con x ∈ [0,π];
(iv) cos x con x ∈ [-π,0];
(v) senh x, x reale;
(vi) cosh x, x≥0;
(vii) cosh x, x≤0.
Lezioni 70 e 71 [2/5/24] (Aula M2) Sottosuccessioni e Teorema di Bolzano-Weierstrass [Teorema 6.4].
Teorema di Weierstrass su intervalli Se f è continua su [a,b], allora f ammette massimo e mimino in [a,b].
Dim Sia M=sup B, dove B:= {f(x): a≤ x ≤ b}. Allora, esiste una successione {y_n} ∈ B tale che y_n -> M. Siano x_n ∈ [a,b] tali che f(x_n)=y_n. Per Bolzano-Weierstrass esiste una sottosuccesione x_{n_k} -> x₀ ∈ [a,b]. Poiché y_{n_k} -> M (Teorema ponte) e f è continua, si ha che
M= lim y_{n_k}= lim f(x_{n_k})=f(x₀), e quindi M è il massimo dei valori di f.
[la dimostrazione per il minimo è del tutto analoga.]
Teoremi elementari sulle derivate: Fermat, Rolle, Cauchy e Lagrange; conseguenze del Teorema di Lagrange. [Par 7.3 tutto].
Esercizi Es 7.5, 7.6, 7.7,7.8.
Lezioni 73 e 74 [3/5/24] Definizione di derivate di ordine superiore [Definizione 7.9.1, Osservazione 7.70 ed Esempio 7.71].
Funzioni differenziabili convesse [ file (la Proposizione è con asterisco)].
Lezione 75 [6/5/24] Intervalli ed insiemi elementari [ file ] (gli asterischi sono indicati nel file).
Lezione 76 [6/5/24] Svolgimento di esercizi assegnati il 30/4 e il 2/5.
Lezioni 77 e 78 [7/5/24] Funzioni a scalini e loro integrale [ file ] (gli asterischi sono indicati nel file).
Esercizi: Svolgere gli esercizi nel file.
Lezione 79 e 80 [8/5/24] Svolgimento di esercizi assegnati.
Lezioni 81 e 82 [9/5/24] Funzioni Riemann integrabili e criterio di integrabilità per successioni [ file]
Lezioni 83 e 84 [10/5/24] Proprietà dell'integrale di Riemann. Partizioni e criterio di integrabilità per partizioni. [ file]
Esercizi Fare tutti gli esercizi del file.
Lezioni 85 e 86 [13/5/24] Il teorema fondamentale del calcolo [par 8.2 fino a par 8.2.1]. Funzioni lipschitziane [Def 6.46] e funzioni uniformemente continue [Def 6.45]. Teorema di Heine-Cantor su intervalli [ file]. Integrabilità delle funzioni continue [Par 8.14].
Esercizio Dimostrare che se |f(x)-f(y)|<ε , per ogni x,y ∈ A, allora sup_A f - inf_A f ≤ ε.
Lezioni 87 e 88 [14/5/24] Integrazione per parti e cambio di variabile nelle integrazioni [par 8.2.1, par 8.2.2]. Formula di Taylor con resto integrale [par 8.2.3].
Integrazione impropria (integrali generalizzati) [par 8.3.1, 8.3.2]
Lezione 89 [15/5/24] Criterio di convergenza assoluta per integrali impropri. Esempi di funzioni integrabili in senso improprio ma non assolutamente convergenti.
Esercizi Discutere la convergenza degli integrali (e solo dopo calcolarne il valore) negli Es 101-115 (cap 8) di [GE]. [GE]: cap 8, Es 116-134.
Fare almeno 50 esercizi sugli integrali impropri da [Rm3.x] e [Rm3.y].
Lezioni 90 e 91 [16/5/24] Svolgimento di esercizi sugli integrali impropri da [GE].
Lezioni 92 e 93 [20/5/24] Esempi di funzioni continue non uniformemente continue. Successioni di Cauchy [par 6.2]. Funzioni uniformemente continue mandano successioni di Cacuhy in successioni di Cauchy; limiti di funzioni uniformemente continue [Proposizione 6.48].
Lezioni 94 e 95 [21/5/24] Aperti e chiusi di ℝ (della topologia standard o euclidea) [par 6.3.1]. Caratterizzazione dei chiusi per successioni [Proposizione 6.24^*]. Chiusura e derivato [Proposizione 6.28^*]. Insiemi compatti per successioni. Teoremi di Weierstrass [Teorema 6.41] e Heine-Cantor [Teorema 6.47] su compatti.
Funzioni uniformemente continue [finire par 6.4.4 e 6.4.5].
Esercizi: Es 6.11-6.22. Esercizi del Cap 5, par 7 di [GE]. Per altri esercizi su funzioni uniformemente continue, si vedano gli esami di AM120 degli ultimi anni o i siti [Rm3.x] e [Rm3.y].
Lezioni 96 e 97 [22/5/24] Svolgimento di esercizi assegnati.
Lezioni 98 e 99 [24/5/24] Svolgimento di esercizi assegnati.
Lezioni 100 e 101 [27/5/24] Massimo e minimo limite di successioni [ file ]
Lezioni 102 e 103 [28/5/24] Un insieme è compatto se e solo se è chiuso e limitato [Teorema 6.32]. f: ℝ -> ℝ è continua se e solo se f^-1(A) è aperto per ogni A aperto [Proposizione 6.35].
Svolgimento di esercizi assegnati.
Lezioni 104 e 105 [29/5/24] Discussione di esercizi.
Una funzione continua su [c,+∞) con asintoto in +∞ è uniformemente continua su [c,+∞) [ file ] (Ora sì che lo potete usare...)
Lezione 106 [3/6/24] Esercitazione in classe.
Lezione 107 [3/6/24] Esercitazione in classe.

Esoneri ed esami

Esonero 1: 15/4/2024
Testo con soluzioni

Esonero 2 : 3/6/2024
Testo con soluzioni
risultati

Appello A : 10/6/2024
Testo con soluzioni
risultati

Appello B : 1/07/2024
Testo con risposte
risultati

Appello C : 2/9/2024
Testo con risposte
risultati

Appello X : 20/1/2025
risultati

Testi consigliati

[C] Chierchia, L.: Corso di analisi, prima parte. Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su ℝ McGraw-Hill, 2019, 390 pagine

[R] Rudin, W.: Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw Hill, 1976

[O] John M.H. Olmsted The Real Number System , 1962, 216 pages

Esercizi

[Rm3.x] Esercizi@RomaTre.x

[Rm3.y] Esercizi@RomaTre.y

[AB] Amar, M.; Bersani, A.: Analisi Matematica I, Esercizi e richiami di teoria, LaDotta, 2013

[B] Bramanti, M.: Esercitazioni di Analisi Matematica 1 Esculapio, 2011

[GE] Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 2000

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: luigi.chierchia@uniroma3.it

AM120-Analisi Matematica 2 (CdL Mat, 9 cfu) Analisi Matematica I, Mod. 2 (CdL Fis, 6 cfu)

AA 2023-2024 - II Semestre

DOCENTI: Proff. Luigi Chierchia , Francesco Pappalardi

TUTORI: Davide Ciaccia, Piero Mangia

AVVISI

AM120-Analisi Matematica 2 (CdL Mat, 9 cfu)
Analisi Matematica I, Mod. 2 (CdL Fis, 6 cfu)