MATEMATICA II (CdL Geologia)
AA 2021-2022 - II Semestre (Docente: Alessandro Giuliani, Esercitatrice: Valentina Apollonio)
AVVISI
- Nella sessione d'esame di giugno, sarà possibile sostenere nello stesso giorno o lo scritto completo o l'esonero relativo alla seconda parte del corso (quest'ultimo
riservato a coloro che hanno già passato il primo esonero in una delle sessioni precedenti). Inoltre, coloro che non hanno passato il primo esonero nelle sessioni precedenti, avranno la
possibilità (per
l'ultima volta!) di ripeterlo nella sessione di giugno, in alternativa allo scritto completo. Coloro che hanno (o avranno) passato il primo esonero entro giugno 2022, avranno poi la
possibilità di sostenere il secondo anche nelle sessioni di luglio, settembre e novembre. Dopo novembre 2022 non saranno più previste sessioni di esonero relative al corso
2021-22.
Diario delle lezioni
Lezioni 1 e 2 [21/2/2022] Primitiva di una funzione. La posizione come primitiva della velocità. Esempi: calcolo della legge oraria corrispondente a velocità costante, costante a tratti e crescente linearmente (accelerazione costante). Legame tra primitiva e area sottesa al grafico della funzione. Calcolo dell'area sottesa da una parabola.
Esercitazioni 1 e 2 [23/2/2022] Somme di Riemann. Definizione di integrale definito. Esempio: integrale definito di una funzione costante a tratti, positiva prima e negativa poi: integrale definito come "area con segno" sotto il grafico della funzione. Funzioni continue a tratti sonon integrabili. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Corollario: integrale definito come differenza di una primitiva calcolata tra i due estremi. Integrale indefinito. Linearità degli integrali.
Esercitazioni 3 e 4 [24/2/2022] Esempi ed esercizi: approssimazione di un integrale definito in termini di somme di Riemann finite. Integrali indefiniti di combinazioni lineari di potenze, di potenze ed esponenziali, di funzioni trigonometriche elementari.
Lezioni 3 e 4 [28/2/2022] Tabella degli integrali indefiniti di: potenze, esponenziali, seno, coseno e 1/cos2x. Esempi: integrali definiti di combinazioni lineari di potenze e esponenziali.
Esercitazioni 5 e 6 [2/3/2022] Esempi: integrali definiti di combinazioni lineari di seni e coseni, del modulo di un polinomio quadratico. Esercizio: integrale defininto di x-4 tra -2 e 1 (trova l'errore!). Metodo di integrazione per parti. Esempi: integrali di ln x, x2ln x, x ex, cos2x, x2sin x, x4x, sin x cos x, e-x sin x.
Lezioni 5 e 6 [3/3/2022] Integrale di 1/(1+x2). Velocità media e media di una funzione su un intervallo. Ancora esempi su metodo di integrazione per parti: integrali di x2e-x e di (ln x)/x2. Metodi di integrazione per sostituzione. Esempi: integrale di sin(3x+5) e di x cos(x2+1).
Lezioni 7 e 8 [7/3/2022] Integrale di 1/√(1-x2). Ancora esempi su metodi integrazione per parti e per sostituzione: integrale di sin x cos x (per parti e per sostituzione); di x ex2/4 (per sostituzione); di √(1-x2) (per parti e per sostituzione).
Esercitazioni 7 e 8 [9/3/2022] Integrali impropri su intervalli al cui bordo la funzione integranda diverge (ad es., integrale di x-p su [0,1]) e su domini illimitati (ad es., integral1 di x-p e di e-x su [1,+∞)).
Esercitazioni 9 e 10 [10/3/2022] Integrali in due variabili: definizione e primi esempi. Approssimazioni di Riemann e volumi con segno sotto il grafico di una funzione in due variabili.
Lezioni 9 e 10 [14/3/2022] Integrazione in due variabili: scambio dell'ordine dell'integrazione nelle due variabili (teorema di Fubini). Esempi: integrali doppi di y2-2x2, di cos(x+2y) e di xyex2y su domini rettangolari; integrale di xy su un dominio triangolare.
Esercitazioni 11 e 12 [16/3/2022] Esempi ed esercizi su integrali doppi in coordinate cartesiane e polari. Calcolo del volume di un cono.
Lezioni 11 e 12 [17/3/2022] Ancora esempi ed esercizi su integrali doppi in coordinate polari e sul calcolo di volumi di solidi di rotazione.
Lezioni 13 e 14 [21/3/2022] Ancora esempi ed esercizi su integrali doppi in coordinate polari. Primi cenni alla regola generale di cambio di coordinate negli integrali doppi.
Esercitazioni 13 e 14 [23/3/2022] Cambi di coordinate generali negli integrali doppi: Jacobiano della trasformazione, determinante dello Jacobiano. Esempi ed esercizi.
Esercitazioni 15 e 16 [24/3/2022] Integrali tripli: definizione ed esempi. Integrali tripli su parallelepipedi e in coordinate cartesiane. Cenni a integrali tripli in coordinate sferiche. Esempio: massa della Terra come integrale di unna densità che descresce linearmente con la distanza dal centro.
Lezioni 15 e 16 [28/3/2022] Ancora esempi su cambi di coordinate negli integrali tripli; in particolare, uso delle coordinate sferiche e cilindriche.
Esercitazioni 17 e 18 [30/3/2022] Introduzione agli integrali curvilinei di campi vettoriali. Esempi e applicazioni. L'integrale curvilineo del gradiente di una funzione è uguale alla differenza della funzione tra i due estremi e indipendente dalla scelta del cammino. Esempio: campo gravitazionale come campo di forze conservative.
Lezioni 17 e 18 [31/3/2022] Ancora sulla nozione di campo vettoriale: campo di forze e campo di velocità di un fluido. Gradiente e linee di livello. Esempi sul calcolo di integrali di un campo vettoriale lungo un cammino. Campi conservativi. Perchè l'integrale di un campo conservativo lungo un cammino è uguale alla differenza della funzione scalare che genera il campo calcolata tra i due estremi.
Lezioni 19 e 20 [4/4/2022] Cambi di coordinate in integrali curvilinei di campi vettoriali. Parametrizzazione di una curva e indipendenza dell'integrale di linea dalla scelta della parametrizzazione. Condizione sufficiente perchè un campo vettoriale sia conservativo: condizione di chiusura. Esempio: come determinare la primitiva di un campo vettoriale chiuso.
Esercitazioni 19 e 20 [6/4/2022] Ancora su campi vettoriali chiusi e conservativi: se un campo vettoriale è chiuso su un dominio senza buchi allora è anche conservativo. Esempio di un campo chiuso su un dominio bucato che nnonn è conservativo (il suo integrale curvilineo su una circonferenza centrata nel buco è diverso da zero). Il teorema di Green nel piano.
Esercitazioni 21 e 22 [7/4/2022] Ancora un esempio sul teorema di Green. Esempio di calcolo di un integrale curvilineo di un campo vettoriale in R3. La nozione di equazione differenziale. Equazioni differenziali lineari del primo e del secondo ordine. Risoluzione dell'equazione per il decadimento radioattivo di un materiale.
Lezioni 21 e 22 [11/4/2022] Definizione generale di equazioni differenziali del primo e del second'ordine. Equazioni differenziali in forma normale. Soluzione generale di un'equazione differenziale. Problema di Cauchy: unicità della soluzione a dato iniziale fissato. Equazione differenziale lineare del tipo N'(t)=aN(t)+b con a e b costanti: analisi qualitativa della soluzione e soluzione esplicita. Equilibrio stabile e instabile. Equazione differenziale lineare del tipo N'(t)=aN(t)+b(t) con a costante.
Esercitazioni 23 e 24 [13/4/2022] Soluzione generale delle equazioni differenziali lineari del prim'ordine della forma x'(t)=a(t)x(t)+b(t) e soluzione del problema di Cauchy corrispondente. Studio qualitativo dell'equazione differenziale non lineare N'(t)=kN(t) (Ntot-N(t)) per l'evoluzione di una malattia in una popolazione: punto fisso stabile, instabile e comportamento asintotico di N(t).
Esercitazioni 25 e 26 [27/4/2022] Soluzione esplicita dell'equazione differenziale non lineare N'(t)=kN(t) (Ntot-N(t)). Metodo di risoluzione generale per equazioni differenziali del prim'ordine a variabili separabili. Esempi.
Lezioni 23 e 24 [28/4/2022] Ancora sull'analisi qualitativa di equazioni differenziali del prim'ordine e sulla natura stabile o instabile delle soluzioni di equilibrio. Esempi ed esercizi su equazioni differenziali del prim'ordine a variabili separabili.
Lezioni 25 e 26 [2/5/2022] Equazioni differenziali lineari del second'ordine a coefficienti costanti: caso omogeneo e non. Esempi e applicazioni: oscillatore armonico smorzato e forzato, circuiti RLC. Equazione omogena: soluzione generale e problema di Cauchy (dati iniziali per posizione e velocità); soluzioni linearmente indipendenti. Equazione caratteristica e calcolo della soluzione generale nei tre casi di radici reali distinte, complesse coniugate e coincidenti.
Esercitazioni 27 e 28 [4/5/2022] Equazioni differenziali lineari del second'ordine a coefficienti costanti omogenee: esempi ed esercizi. Il caso non omogeno: soluzione generale nella forma di soluzione generale dell'omogenea + soluzione particolare della non omogena. Come calcolare una soluzione particolare della non omogenea: il caso in cui la forzante è un polinomio e il caso in cui è un esponenziale.
Esercitazioni 29 e 30 [5/5/2022] Equazioni differenziali lineari del second'ordine a coefficienti costanti non omogenee: ricerca della soluzione particolare nel caso di forzante sinusoidale. L'oscillatore armonico smorzato: casi supercritico e critico (attrito grande) e sottocritico (attrito piccolo, oscillazioni smorzate). L'oscillatore armonico smorzato e forzato con forzante sinusoidale: calcolo della soluzione particolare. Risonanza.
Lezioni 27 e 28 [9/5/2022] Ancora esempi ed esercizi su equazioni differenziali del second'ordine a coefficienti costanti in presenza di termini non omogenei. Equazioni alle derivate parziali: definizione ed esempi: equazione del calore, equazione delle onde (standard e delle onde sismiche). Equazione delle onde sulla retta: onde viaggianti verso destra e verso sinistra. Soluzione generale con la formula di D'Alembert.
Esercitazioni 31 e 32 [11/5/2022] Ancora sulla soluzione dell'equazione delle onde su tutta la retta: dimostrazione che la formula di D'Alembert fornisce una soluzione; discussione di un esempio esplicito. Equazione delle onde su un segmento con condizioni nulle al bordo: ricerca della soluzione per separazione di variabili. Soluzione del problema come combinazione lineare di funzioni oscillanti sinusoidali.
Esercitazioni 33 e 34 [12/5/2022] Ancora sulla soluzione dell'equazione delle onde sul segmento con condizioni al bordo nulle: soluzione come combinazione lineare (finita o infinita) di onde sinusoidali (armoniche); pulsazione e frequenza fondamentali. Esempi ed esercizi.
Fogli di esercizi
- Foglio di esercizi delle prime due settimane
- Foglio di esercizi della terza settimana
- Foglio di esercizi della quarta settimana
- Foglio di esercizi della quinta settimana
- Foglio di esercizi della sesta settimana
- Foglio di esercizi della settima settimana
- Foglio di esercizi dell'ottava settimana
- Foglio di esercizi della nona settimana
- Foglio di esercizi della decima settimana
- Foglio di esercizi dell'undicesima settimana
- Foglio di esercizi di riepilogo (prova pre-esonero)
- Foglio di esercizi di riepilogo (seconda prova pre-esonero)
- Simulazione d'esame (1/10/2022)
- Simulazione d'esonero (1/10/2022)
- Simulazione d'esame (1/11/2022)
- Simulazione d'esonero (1/11/2022)
- Orario lezioni:
- - lunedì: 8:30 - 10:00, mercoledì: 8:30 - 10:00, giovedì: 10:15 - 12:00 (Aula E)
- Ricevimento:
- - per appuntamento giuliani@mat.uniroma3.it
- - lunedì: 8:30 - 10:00, mercoledì: 8:30 - 10:00, giovedì: 10:15 - 12:00 (Aula E)
Esami ed esoneri
- Esonero mod 2 (21/6/2022): Testo
- Recupero Esonero mod 2 (12/7/2022): Testo
- Recupero Esonero mod 2 (5/9/2022): Testo
- Recupero Esonero mod 2 (8/11/2022): Testo
- Scritto (21/6/2022): Testo
- Scritto (12/7/2022): Testo
- Scritto (5/9/2022): Testo
- Scritto (8/11/2022): Testo
- Scritto (18/1/2023): Testo
- Scritto (6/2/2023): Testo
- Scritto (14/4/2023): Testo
- Scritto (19/6/2023): Testo
- Scritto (4/7/2023): Testo
Testi consigliati
-
Testi principale di riferimento:
- [BEM] D. Benedetto, M. Degli Esposti, C. Maffei: Matematica
per le scienze della vita, Ed. Ambrosiana.
- [Ge] Lezioni di MATEMATICA - Modulo 1. Note del Prof. G. Gentile, disponibili online qui.
Testi di riferimento addizionali:- [MS] P. Marcellini, C. Sbordone: Elementi di Calcolo, Liguori Editore. In alternativa, degli stessi autori: Calcolo, Liguori Editori.
Testi di esercizi:- [MSes] P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di matematica, vol. primo, parti prima e seconda, Ed. Liguori.
- [SS] S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Matematica - Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli.
- [Ge] Lezioni di MATEMATICA - Modulo 1. Note del Prof. G. Gentile, disponibili online qui.
Ultima modifica 6/7/2023