AM120-Analisi Matematica 2 (CdL Mat, 9 cfu)
Analisi Matematica I, Mod. 2 (CdL Fis, 6 cfu)

AA 2024-2025 - II Semestre

DOCENTI: Proff. Luigi Chierchia , Roberto Feola

TUTORI: Francesco Caristo e Laura Fagotto

Indice
Avvisi
Orario delle lezioni/esercitazioni
Ricevimento
Informazioni generali
Informazioni sul corso
Testi consigliati ed esercizi in rete
sito web di AM110 - AA 2024/25
Diario delle lezioni/esercitazioni
Testi consigliati
Esoneri ed esami

AVVISI

• [7/6/2025] Ho aggiunto asterischi a: coincidenza di (1+x)^α con la sua serie di Taylor; formula di Taylor con resto integrale; estensione di funzioni uniformemente continue; teorema di Heine-Cantor.

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• [9/5/25] La prossima settimana io farò lezione il 12/5 e il 14/5 e il prof Feola il 13/5 e il 16/5 (e svolgerà teoria ed esercizi su integrali impropri).
• [30/4/25] Venerdì 2/5/25 ci sarà lezione regolarmente.
  Mercoledì 7/5/25 l'attività didattica è sospesa in occasione della "Giornata INdAM 2025".
• [27/4/25] Risultati primo esonero
  Sarà possibile visionare lo scritto al prossimo tutorato, dove verrà anche fatto lo svolgimento alla lavagna.
  Gli errore più comuni sono stati: applicazione del criterio di confronto asintotico a serie non positive (soprattutto nell'esercizio 3); mancanza di controllo della monotonia in serie a segni alterni. Altre osservazioni generali: quasi nessuno ha riconosciuto che la serie nell'Es 2 era una serie di potenze; nessuno (!) ha calcolato la derivata richiesta nell'Es 4; inutile sviluppo del denominatore nell'Es 5.
• [27/5/25] Il 28, 29 e 30 farò lezione io.
• [16/4/25] In occasione dell'Esonero del 17/4/25, recarsi (con materiale per scrivere e fogli bianchi per la brutta) nelle seguenti aule:
  Iniziale cognome A-F: AULA M1
  Iniziale cognome G-Z: AULA M2
• [2/4/25] Il tutorato di domani 3/4/25 è cancellato. Riprenderà normalmente la settimana prossima.
• [27/3/25] Le esercitazioni tenute dal Prof. Feola nelle prossime due settimane saranno tenute:
  martedì 1/4/25; venerdì 4/4/25; martedì 8/4/25; venerdì 11/4/25.
  Durante l'esercitazione di venerdì 11/4/25 si farà una simulazione del primo esonero.
• [14/3/25] Le esercitazioni tenute dal Prof. Feola nelle prossime due settimane saranno tenute: mercoledì 19/3 e venerdì 28/3 (gli altri giorni farò lezione io).
• [3/3/25] La prima esercitazione tenuta dal Prof Feola sarà mercoledì 5/3/25.
• [3/3/25] Il tutorato comincerà questa settimana (secondo l'orario ufficiale).
• [22/2/25] Le lezioni avranno inizio lunedì 24/2/25 in aula M1.

Ricevimento
Il Prof Chierchia riceve dopo le sue lezioni in aula M1 (o per appuntamento), previa prenotazione via mail almeno un giorno prima

Informazioni generali sul corso
• Programmi sintetici di AM110 e AM120 [NB: la ripartizione del programma rispetto agli anni AA precedenti sarà da quest'AA diversa; in particolare la parte "teorica", con relative dimostrazioni, è suddivisa tra il primo e il secondo modulo]
  AM110: Assiomatica di R e suoi sottoinsiemi principali. Teoria dei limiti (successioni e funzioni). Continuità, derivabilità e grafici. Calcolo di primitive.
  AM120: Serie. Formule e serie di Taylor. Integrale di Riemann. Topologia euclidea.

• Obiettivi formativi generali
  Acquisire una buona conoscenza dei teoremi principali dell'Analisi Matematica su ℝ e delle relative tecniche di dimostrazione
  
  
• Differenziazione dei percorsi nei due corsi di laurea
  L'esame per il CdL in Matematica è da 9 cfu, quello per il CdL in Fisica da 6 cfu: la differenza in crediti verrà rispecchiata dai diversi programmi da portare all'esame: il numero di dimostrazioni da portare all'orale per i fisici sarà circa 2/3 di quello per i matematici. Gli esami scritti sono in comune e non vi è alcuna differenza a livello di frequenza.
  
  
• Tutorato
  Il tutorato va inteso come "luogo" dove studiare (teoria ed esercizi), avendo a disposizione i tutori a cui chiedere eventualmente suggerimenti e chiarimenti.
  
  
• Modalità d'esame
  L'esame consiste in un test scritto ed un colloquio orale. In ogni appello d'esame (A, B,...) ci sarà uno scritto e un orale.
  Per svolgere il colloquio orale è necessario superare il test scritto.
  Durante le lezioni (e quindi prima dell'appello A) ci saranno due "esoneri": il superamento degli esoneri equivale a superare il test scritto.
  Superati esoneri o scritto degli appelli A o B, è possibile sostenere l'orale sia nell'appello A sia nell'appello B. Per gli appelli successivi (da C in poi) gli scritti e l'orale vanno sostenuti contestualmente (in altri termini, non si può sostenere l'orale nell'appello successivo a quello in cui si è superato lo scritto).
  
  
• Modalità d'esame per gli iscritti all'AA 2023-24 e AA precedenti
  Chi ha già sostenuto AM110 nell'AA 2023-24 o precedenti, dovrà superare lo scritto (esoneri o appelli) di questo anno AA, mentre l'orale verterà sul programma dell'anno AA in cui ha superato AM110.
  Chi non ha sostenuto né AM110 né AM120 può optare per il nuovo ordinamento o richiedere le modalità del relativo anno di immatricolazione (in tal caso il docente va avvertito tempestivamente).
  In ogni caso, è necessario che gli iscritti all'AA 2023-24 e AA precedenti comunichino tramite mail, prima del test scritto, la propria situazione e quale esame devono sostenere.

Diario delle lezioni/esercitazioni
I riferimenti tra parentesi quadrate sono al testo [C].
^* significa: "dimostrazione facoltativa per i fisici" (NB: l'enunciato invece va saputo da tutti!)
^** significa: "dimostrazione facoltativa per tutti"
(!) in un esercizio significa "esercizio importante" (che può esser discusso all'orale)
• Lezioni 1 e 2 [24/2/25] Teorema di esistenza degli zeri per funzioni continue [par 2.8.1 di [C] o file].
  Richiami su: teorema di permanenza del segno per funzioni; esistenza del limite per funzioni monotone; teorema del confronto per limiti; cardinalità di insiemi.
• Lezioni 3 e 4 [25/2/25] Conseguenze del teorema dell'esistenza degli zeri: le funzioni continue mandano intervalli in intervalli ed assumono tutti i valori strettamente compresi tra l'inf e il sup dei valori di f.
  L'inversa di una funzione strettamente monotona su un intervallo è sempre continua. [Teorema 2.56 nel file]
  Definizioni alternative di radici e logaritmi.
  Esercizi: Es 2.40, 2.43^* e 2.44^* nel file.
  Es Dimostrare che per ogni numero reale x esiste una successione x_n di numeri irrazionali che converge a x.
• Lezioni 5 e 6 [26/2/25] Serie: definizione ed esempi (la serie geometrica; la serie di Mengoli; zeta(2); divergenza della serie armonica. [Par 4.1].
  Es (!): dimostrare per induzione la formula nel file
• Lezioni 7 e 8 [28/2/25] Convergenza della serie logaritmica ∑ (-1)^k-1/k. Proposizione 4.8 (properietà elementari delle serie e criterio di convergenza assoluta).
  Esercizi svolgere gli esercizi di questo file (il primo esercizio 5.1 è con !; l'esercizio 5.3 ignoratelo: corrisponde all'esercizio assegnato il 26/2; gli ultimi due esercizi sono più impegnativi).

• Lezioni 9 e 10 [3/3/25] Criteri di convergenza per serie a termini positivi: confronto asintotico; radice e rapporto [par 4.3.1, 4.3.2, 4.3.3]
  Svolgimenti di esercizi da [GE] (Es 2,3,4 p. 90)
  Esercizi da [GE]: Es 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.

• Lezioni 11 e 12 [4/3/25] Criterio di Leibniz e criterio di condensazione di Cauchy^*
  Svolgimenti di esercizi da [GE] (Es 5,6,7,8 p. 90).
  Esercizi da [GE]: Es 1, 9-18.
  Es (!): Dimostrare, per induzione, che, per ogni numero naturale n, si ha: e (n/e)ⁿ ≤ n! ≤ e n (e/n)ⁿ.

• Lezioni 13 e 14 [5/3/25] Discussione di esercizi dal file.

• Lezioni 15 e 16 [7/3/25] Funzioni trigonometriche (1): definizione di segmenti e poligonali in R² e loro lunghezza. Definizione di archi di circonferenza nel primo quadrante [ funzioni trigonometriche (1)]

• Lezioni 17 e 18 [10/3/25] Definizione di π e di A(x) (l'arcocoseno ristretto a [0,1]).
  Proposizione^*: Per ogni x∈ [0,1) si ha A'(x)= - 1/(1 - x² )^1/2. [ funzioni trigonometriche (2)]
  Esercizio 1 Sia f:[a,b] → R una funzione continua e m(h):=inf_[a,a+h] f, per ogni h < b-a. Dimostrare che lim_h→0 m(h) = f(a)

• Lezioni 19 e 20 [11/3/25] Disuguaglianza di Cauchy e disuguaglianze triangolari in R². Continuità di A(x) in 1. Definizione di coseno e seno su [0,π/2]. Estensione di coseno e seno a tutto R [vedi funzioni trigonometriche (file completo) ]

• Lezioni 21 e 22 [12/3/25] Discussione di esercizi su serie numeriche del file.

• Lezioni 23 e 24 [14/3/25] Fine dimostrazione del Teorema 1.12 del file sulla definizione e proprietà fondamentali del seno e coseno; limiti notevoli in 0 di seno e coseno; formule di addizione.
  Esercizi Es 1.4, 1.5, 1.6, 1.7 e 1.8 del file

• Lezioni 25 e 26 [17/3/25] Funzioni iperboliche e loro inverse. Funzioni trigonometriche inverse. [Sez 3.3 e 3.4, 5.3 di [C]]
  Esercizi da [C]: Es 3.4 (!); Es 5.1 (!); Es 5.2 (!); 5.5, 5.4^*.

• Lezioni 27 e 28 [18/3/25] Discussione di esercizi su serie numeriche e controesempi a vari criteri (se non tutte le ipotesi sono soddisfatte) [ file]

• Lezioni 29 e 30 [19/3/25] Discussione di esercizi su serie numeriche e con parametri del file.

• Lezioni 31 e 32 [21/3/25] Massimo limite e criterio generalizzato della radice [file].

• Lezioni 33 e 34 [24/3/25] Serie di potenze: raggio di convergenza e formula di Cauchy-Hadamard; regolarità delle serie di potenze^* [file].

• Lezioni 35 e 36 [25/3/25] Fomula di Taylor [file ].
  Esercizi Es 236-256 da [GE] Cap 6.
  altri esercizi ( soluzioni )

• Lezioni 37 e 38 [26/3/25] Serie di Taylor e funzioni analitiche; criterio di analiticità. Una funzione C^∞ su R, non analitica in 0. Serie di Taylor di: 1/(1-x)^p, e^x; funzioni iperboliche e funzioni trigonometriche [vedi file].
  Esercizi Es 1.1 del file (!).
  Es (!): sia f derivabile su R. Dimostrare che se f è pari allora f' è dispari e che se f è dispari allora f' è pari.

• Lezioni 39 e 40 [28/3/25] Discussione di esercizi su serie numeriche e con parametri del file.

• Lezioni 41 e 42 [31/3/25] Serie di Taylor di: log (1+x) e arctan x [vedi file].
  Esercizi Es (!): dimostrare che ∑_{k≥ n+1} 1/k! < c_n/(n+1)! con c_n=(n+2)/(n+1).

• Lezioni 43 e 44 [1/4/25] Discussione di esercizi su limiti con Taylor dal file.

• Lezioni 45 e 46 [2/4/25] Estensione del coefficiente binomiale α sopra k con α reale. Serie di Taylor di (1+x)^α con α reale e suo raggio di convergenza; coincidenza della serie con (1+x)^α per |x|<1/2 [con asterisco].
  Irrazionalità del numero di Nepero.

• Lezioni 47 e 48 [4/4/25] Discussione di esercizi su limiti con Taylor dal file.

• Lezioni 49 e 50 [7/4/25] Fine dimostrazione della coincidenza di (1+x)^α con la sua serie di Taylor in (-1,1) [con asterisco].
  Esercizio discusso: sviluppo in serie di Taylor di (sen x)².
  Esercizi: dimostrare che, per ogni a>1, la successione (1/n) tanh aⁿ è definitivamente decrescente.

• Lezioni 51 e 52 [8/4/25] Discussione di esercizi vari su Taylor dal file.

• Lezioni 53 e 54 [9/4/25] Discussione di esercizi.

• Lezioni 55 e 56 [11/4/25] Simulazione test in vista del primo esonero.

• Lezioni 57 e 58 [28/4/25] Insiemi elementari. La famiglia degli insiemi elementari è chiusa rispetto a intersezione, unione e complementare^*. Funzioni a scalini; caratterizzazione tramite immagine e preimmagine. [vedi file]

• Lezioni 59 e 60 [29/4/25] Rappresentazione di funzioni a scalini tramite intervalli disgiunti comuni^*. Le funzioni a scalini formano un'algebra di funzioni. [vedi file]

• Lezioni 61 e 62 [30/4/25] Misura di intervalli e di insiemi elementari. Integrale di funzioni a scalini. L'integrale è un funzionale lineare e positivo su S. [vedi file]

• Lezioni 63 e 64 [2/5/25] Definizione di integrabilità secondo Riemann. Un esempio di funzione non integrabile secondo Riemann; Integrale superiore e inferiore della funzione caratteristica dei razionali in [0,1].
  Criterio base di integrabilità e criterio di integrabilità per successioni. Una combinazione lineare di funzioni Riemann integrabile è Riemann integrabile. [vedi file]

• Lezioni 65 e 66 [5/5/25] Teorema sulle proprietà delle funzioni Riemann integrabile [Teorema 4.24 del file; la dimostrazione dei punti (a) e (b) è con asterisco].

• Lezioni 67 e 68 [6/5/25] Partizioni e criterio di integrabilità per partizioni. Somme di Riemann. Funzioni uniformemente continue. Le funzioni continue su [a,b] sono uniformemente continue (caso speciale del teorema di Heine-Cantor che verrà dimostrato in seguito). Le funzioni lipschitziane sono uniformemente continue. Integrabilità delle funzioni continue e limitate. [vedi file]
  Esercizio Dimostrare che la funzione f(x)=x^1/2 è uniformemente continua su (0,1) ma non è lipschitziana su (0,1).

• Lezioni 69 e 70 [9/5/25] Integrabilità delle funzioni monotone [Proposizione 4.29 nel file].
  Integrale tra due punti; teorema fondamentale del calcolo (due enunciati) [vedi file]

• Lezioni 71 e 72 [12/5/25] Integrazione per parti e cambio di variabile negli integrali definiti. Formula di Taylor con resto integrale^*. [vedi file (13/5/25)]
  Esercizi Es 4.8 e 4.9 (!) del file.

• Lezioni 73 e 74 [13/5/25] Integrali impriopri: teoria [vedi file] e esercizi.

• Lezioni 75 e 76 [14/5/25] Definizione di area di una regione normale e di lunghezza di un grafico [vedi file].
  Topologia euclidea: definizione di aperti e chiusi e loro proprietà fondamentali [vedi file]

• Lezioni 77 e 78 [16/5/25] Integrali impriopri: teoria [vedi file] e esercizi.

• Lezioni 79 e 80 [19/5/25] Definizione di chiusura e di frontiera. Caratterizzazione dei chiusi in termini di successioni^* [Proposizione 6.5 del file (del 20/5/25)]
  Esercizi: fare gli esercizi del file [gli esercizi 6.1 e 6.3 sono con (!)]

• Lezioni 81 e 82 [16/5/25] Integrali impropri: discussione degli esercizi dal file

• Lezioni 83 e 84 [21/5/25] Relazioni tra chiusura e derivato [Proposizione 6.7^* del file]. Proposizione 6.9^** del file. Continuità topologica^** [Proposizione 6.12 del file].
  Sottosuccessioni e teorema di Bolzano-Weierstrass [par 6.2.1 e 6.2.2 del file].

• Lezioni 85 e 86 [23/5/25] Esercizi su aree e lunghezze [file]

• Lezioni 87 e 88 [26/5/25] Successioni di Cauchy; estensioni di funzioni uniformemente continue^*. Massimo e minimo limite. [vedi file]
  Esercizi: da Es 6.6 fino a Es 6.13; Es 6.10 (!)

• Lezioni 89 e 90 [27/5/25] Insiemi compatti (per successioni). Teorema di Bolzano-Weierstrass (gli insiemi compatti sono gli insiemi chiusi e limitati). Gli insiemi compatti non vuoti hanno massimo e minimo. Le funzioni continue trasformano compatti in compatti. Teorema di Weierstrass (una funzione continua su un compatto ha massimo e minimo). Teorema di Heine-Cantor^* (le funzioni continue su compatti sono uniformemente continue). L'insieme ternario di Cantor. [vedi file (28/5/25)]
  Esercizi: vedi file (28/5/25).

• Lezioni 91 e 92 [28/5/25] Discussione di esercizi su funzioni uniformemente continue e max/min limite.

• Lezioni 93 e 94 [30/5/25] Irrazionalità di pi greco^** [vedi file]

• Lezioni 95 e 96 [3/6/25] Esercizi su funzioni uniformemente continue [file]

• Lezioni 97 e 98 [4/6/25] Esercizio su massimo e minimo limite [file].

• Lezioni 99 e 100 [4/6/25] Simulazione test in vista del secondo esonero [file].

Esoneri ed esami

Esonero 1: 17/4/2025, ore 15:00 Aula M1
Testo
risultati

Esonero 2 : 13/6/25, ore 9:00, Aula M1

Appello A : 20/6/25, ore 9:00, Aula M1

Appello B : 14/7/25, ore 9:00, Aula M1

Appello X : 15/9/25, ore 9:00, Aula M1

Appello D : 16/2/26, ore 9:00, Aula M1

Testi consigliati
[C] Chierchia, L.: Corso di analisi, prima parte. Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su ℝ McGraw-Hill, 2019, 390 pagine
      vedi anche: Argomenti semplificati e Complementi
[R] Rudin, W.: Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw Hill, 1976
[O] John M.H. Olmsted The Real Number System , 1962, 216 pages


Per altri testi vedi "Altri testi" sul sito web di AM110 - AA 2024/25


Esercizi

[Rm3.x] Esercizi@RomaTre.x
[Rm3.y] Esercizi@RomaTre.y
[AB] Amar, M.; Bersani, A.: Analisi Matematica I, Esercizi e richiami di teoria, LaDotta, 2013
[B] Bramanti, M.: Esercitazioni di Analisi Matematica 1 Esculapio, 2011
[GE] Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 2000

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: luigi.chierchia@uniroma3.it