FM210 - Fisica Matematica I (CdL in Matematica)
Meccanica Analitica (CdL in Fisica)
AA 2017-2018 - II Semestre (Docente:
Alessandro Giuliani; Esercitatore: Faenia Vaia;
Tutori: Camilla Di Mino e Davide Giusti)
- Programma
- Diario delle Lezioni
- Esercitazioni
- Orari
- Esami ed Esoneri
- Bibliografia
- Diario delle Lezioni
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Lezioni 1 e 2 [28/2/2018] Equazioni di Newton. Forze posizionali e conservative. Condizioni necessarie e sufficienti affinché una forza sia conservativa. Conservazione dell'energia meccanica.
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Lezioni 3 e 4 [6/3/2018] Sistemi di forze conservative: criteri di conservatività e conservazione dell'energia meccanica. Alcuni esempi di sistemi conservativi risolubili (forza costante e oscillatore armonico). Punti di equilibrio e stabilità nel senso di Lyapunov per equazioni di Netwon.
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Lezioni 5 e 6 [7/3/2018] Caratterizzazione dei punti critici del potenziale: minimi stretti corrispondono a punti di equilibrio stabile (teorema di Dirichlet), punti di massimo o di sella non degeneri a punti di equilibrio instabile. Dimostrazione del teorema di Dirichlet e del teorema di instabilità (solo per sistemi meccanici unidimensionali).
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Lezioni 7 e 8 [12/3/2018] Piccole oscillazioni: soluzione del problema linearizzato attorno a un punto di minimo non degenere del potenziale, modi normali e frequenze di oscillazione proprie. Per una stima dell'effetto dei termini non lineari sulla soluzione, potete consultare queste note. Introduzione al modello del pendolo matematico.
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Lezioni 9 e 10 [14/3/2018] Il pendolo matematico: definizione del modello, derivazione delle equazioni del moto, costruzione delle curve di livello nel piano delle fasi.
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Lezioni 11 e 12 [19/3/2018] Il pendolo matematico: integrazione per quadrature del moto. Soluzione esplicita del moto sulla seperatrice. Alcune animazioni che descrivono il moto del pendolo nello spazio fisico e nel piano delle fasi sono disponibili qui.
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Lezioni 13 e 14 [21/3/2018] Analisi qualitativa e soluzione per quadrature dei moti conservativi unidimensionali: strategia generale. Moti in campo centrale: introduzione. Caso a un corpo e a due corpi. Riduzione del caso a due corpi a quello a un corpo: conservazione della quantità di moto totale del sistema. Conservatività delle forze centrali. L'energia potenziale associate a una forza centrale dipende solo dalla distanza del punto materiale dal centro della forza.
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Lezioni 15 e 16 [27/3/2018] Analisi qualitativa e soluzione per quadrature dei moti in campo centrale: strategia generale. Il moto in campo gravitazionale: grafico del potenziale efficace e delle curve di livello, analisi qualitativa del moto radiale. Analisi quantitativa dei moti circolari uniformi, corrispondenti al moto banale radiale sul punto di equilibrio stabile del potenziale efficace.
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Lezioni 17 e 18 [28/3/2018] Il moto in campo gravitazionale: soluzione esplicita dei moti limitati. Dimostrazione della periodicità del moto, calcolo della traiettoria e del periodo. Le tre leggi di Keplero.
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Lezioni 19 e 20 [3/4/2018] L'oscillatore armonico tridimensionale: calcolo della traiettoria e del periodo con la strategia di soluzione dei moti in campo centrale. Teorema di Bertrand (solo enunciato). Moti in campo centrale: esempi.
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Lezioni 21 e 22 [16/4/2018] Introduzione alla meccanica Lagrangiana: spazio dei moti, spazio delle variazioni, funzionale di azione di densità Lagrangiana L(x,v). Condizione di stazionarietà per l'azione Lagrangiana e equazioni di Eulero-Lagrange: un moto rende l'azione Lagrangiana stazionaria se e solo se risolve le equazioni di Eulero-Lagrange.
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Lezioni 23 e 24 [18/4/2018] Meccanica Lagrangiana: il principio (teorema) di minima azione. Cambiamenti di coordinate in sistemi Lagrangiane: covarianza delle equazioni di Eulero-Lagrange.
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Lezioni 25 e 26 [23/4/2018] Strategia (ingenua) per determinare le equazioni del moto di sistemi vincolati. Definizione di sistema di vincoli olonomi bilateri ideale. Definizione di vincoli ideali: il principio di Dirichlet.
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Lezioni 27 e 28 [30/4/2018] Principio di stazionarietà per sistemi vincolati nel caso di vincoli ideali. Energia generalizzata. Variabili cicliche, conservazione dei momenti coniugati, e riduzione dei gradi di libertà: metodo di Routh.
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Lezioni 29 e 30 [2/5/2018] Cambiamenti di sistema di riferimento: leggi di trasformazione di posizione e velocità da un sistema di riferimento fisso a uno mobile. Vettore velocità angolare. Legge di trasformazione delle equazioni della dinamica: forze fittizie (inerziali di traslazione e rotazione, di Coriolis e centrifuga).
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Lezioni 31 e 32 [7/5/2018] Forte fittizie, un esempio: calcolo della deviazione dalla verticale nella caduta libera di un punto materiale dovuta alla forza di Coriolis. Il corpo rigido: definizione, sistema di riferimento solidale. Energia cinetica: contributo dovuta al moto traslatorio del baricentro e contributo dovuto alla rotazione attorno al baricentro. Matrice d'inerzia.
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Lezioni 33 e 34 [9/5/2018] Il vincolo di rigidità come vincolo ideale. Principio di D'Alembert per il corpo rigido. Equazioni cardinali della dinamica.
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Lezioni 35 e 36 [16/5/2018] Meccanica Hamiltoniana: momenti coniugati, trasformazione di Legendre, equazioni di Hamilton. Il flusso Hamiltoniano è a divergenza nulla: teorema di Liouville.
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Lezioni 37 e 38 [19/5/2018] Evoluzione di osservabili e parentesi di Poisson. Principio variazionale di Hamilton. Forma differenziale di Poincarè-Cartan. Invariante integrale di Poincarè-Cartan.
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Lezioni 39 e 40 [21/5/2018] Equazione di Hamilton-Jacobi. Trasformazioni canoniche: definizione. Funzioni generatrici di prima, seconda, terza e quarta specie. Una trasfermazione canonica indotta da una funzione generatrice di seconda specie conserva le parentesi di Poisson fondamentali.
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Lezioni 41 e 42 [23/5/2018] Condizioni necessarie e sufficienti affinchè una trasformazione sia canonica. Matrici e trasformazioni simplettiche. Conservazione delle parentesi di Poisson fondamentali. Applicazione: il flusso Hamiltoniano al tempo t induce una trasformazione canonica.
Diario delle Lezioni
- Esercitazioni 1 e 2 [12/3/2018] Punti di equilibrio e stabilità. Piccole oscillazioni.
- Tutorati 1 e 2 [13/3/2018] Forze posizionali e conservative. Punti di equilibrio, stabilità e piccole oscillazioni per sistemi meccanici in una o più dimensioni. (Esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 3 e 4 [19/3/2018] Analisi qualitativa e soluzione per quadrature dei moti conservativi unidimensionali: il caso della doppia buca.
- Tutorati 3 e 4 [20/3/2018] Analisi qualitativa e soluzione per quadrature dei moti conservativi unidimensional. (Esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 5 e 6 [26/3/2018] Analisi qualitativa e soluzione per quadrature dei moti in campo centrale.
- Tutorati 5 e 6 [26/3/2018] Ancora sui moti conservativi unidimensionali. Moti in campo centrale. (Esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 7 e 8 [3/4/2018] Analisi qualitativa e soluzione per quadrature dei moti in campo centrale.
- Tutorati 7 e 8 [4/4/2018] Prova pre-esonero (Testo, Soluzioni).
- Esercitazioni 9 e 10 [16/4/2018] Principio di stazionarietà in analisi variazionale: il calcolo della brachistocrona. Soluzione degli esercizi del compito di esonero.
- Tutorati 9 e 10 [17/3/2018] Formalismo Lagrangiano: equazioni di Eulero-Lagrange e cambiamenti di coordinate nelle equazioni del moto. La legge di Snell. La catenaria. (Esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 11 e 12 [23/4/2018] Sistemi Lagrangiani in presenza di vincoli ideali. Il pendolo doppio. Il pendolo sferico.
- Tutorati 11 e 12 [24/3/2018] Sistemi Lagrangiani in presenza di vincoli ideali. (Esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 13 e 14 [30/4/2018] Gruppi di simmetria a un parametro e grandezze conservate: teorema di Noether. Conservazione della quantità totale di moto e del momento angolare totale di un sistema di punti materiali invariante per traslazioni.
- Esercitazioni 15 e 16 [7/5/2018] Calcolo dei momenti di inerzia per un'asta sottile omogenea. Esempi: sistemi Lagrangiani di aste vincolate
- Tutorati 13 e 14 [8/5/2018] Teorema di Noether. Sistemi Lagrangiani con corpi rigidi. (Esercizi, soluzioni). Alcuni esercizi aggiuntivi su cambiamenti di sistemi di riferimento e calcolo dei momenti di inerzia. (Esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 17 e 18 [14/5/2018] Esercizi sui moti dei corpi rigidi in coordinate Lagrangiane
- Esercitazioni 19 e 20 [14/5/2018] Equazioni di Eulero: soluzione nel caso di matrice d'inerzia a simmetria sferica e cilindrica. Moti di precessione e rotazione propria. Cenni alla soluzione generale (corpo rigido a-simmetrico): moti di nutazione, precessione e rotazione propria.
- Tutorati 15 e 16 [15/5/2018] Sistemi Lagrangiani con corpi rigidi. (Esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 21 e 22 [21/5/2018] Esercizi di ricapitolazione sulla meccanica Hamiltoniana: trasformazioni canoniche, funzioni generatrici e equazione di Hamilton-Jacobi.
- Tutorati 17 e 18 [22/5/2018] Meccanica Hamiltoniana (Esercizi, soluzioni).
- Tutorato extra [23/5/2018] Seconda prova pre-esonero (Testo, soluzioni).
Esercitazioni e Tutorato
- Lunedì ore 9-11 [aula G].
- Lunedì ore 11-13 [aula G] (esercitazione).
- Mercoledì ore 9-11 [aula G].
- Martedì ore 16-18 [aula G] (tutorato). Ricevimento: Mercoledì ore 13:00-14:30 [studio 205] o su appuntamento email a: giuliani@mat.uniroma3.it
Orari
Esami ed Esoneri
Modalità: Esame scritto e orale. I primi due appelli si terranno a Giugno-Luglio 2018. Durante il corso si terranno due esoneri, il primo il 9 Aprile 2018, il secondo il 28 Maggio 2018. Chi supererà con successo le due prove di esonero potrà accedere all'esame orale senza dover svolgere l'esame scritto. Per superare con successo le due prove di esonero è necessario ottenere almeno 16/30 in entrambe le prove, e una media di almeno 18/30. Una volta superati gli esoneri, l'orale potrà essere sostenuto entro la sessione di Febbraio 2019.
Note:
1) Per coloro che vogliono sostenere lo scritto allo scopo di migliorare il voto degli esoneri: gli esoneri perderanno valore al momento della consegna al docente dell'esame svolto.
2) Chi non dovesse superare l'orale dovrà ripetere l'esame scritto.
3) Chi dovesse superare l'esame scritto in una delle sessioni disponibili (estiva, settembre, invernale) è tenuto a sostenere l'orale nella stessa sessione (esempio: se si ha superato lo scritto di giugno, si può sostenere l'orale o a giugno o a luglio, dopodiché lo scritto decadrà; se si ha superato lo scritto a settembre, l'orale va sostenuto a settembre stesso, dopodiché lo scritto decadrà).
- Primo esonero [9/4/2018] (testo, soluzioni, risultati).
- Secondo esonero [28/5/2018] (testo, soluzioni, risultati).
- Primo scritto [21/6/2018] (testo, soluzioni, risultati).
- Secondo scritto [9/7/2018] (testo, soluzioni, risultati).
- Terzo scritto [13/9/2018] (testo, soluzioni, risultati).
- Quarto scritto [21/1/2019] (testo, soluzioni, risultati).
- Quinto scritto [11/2/2019] (testo, soluzioni, risultati).
- [Ga] G. Gallavotti, Meccanica Elementare, ed. P. Boringhieri, Torino, 1986, p. 1-536, disponibile online in versione inglese qui (pdf, djvu).
- [LL] L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Meccanica, Editori Riuniti, Roma, 1976.
- [Ar] V.I. Arnol’d, Metodi Matematici della Meccanica Classica, Editori Riuniti, Roma, 1979.
- [Ge] G. Gentile, Introduzione ai Sistemi Dinamici: 1 e 2, disponibili online qui.
Testi consigliati
Ultima modifica 22/2/2019