AC310 Analisi complessa (7 cfu)

AA 2018-2019 - II Semestre (L. Chierchia)

Esercitazioni: Prof. Luca Biasco

Indice
Avvisi
Orario delle lezioni II semestre
Analisi Complessa - AA 2009/10
Programma di massima del corso
Programma completo del corso
Esercizi assegnati durante l'anno (1)
Esercizi assegnati durante l'anno (2)
Diario delle lezioni
Diario delle esercitazioni
Bibliografia
Esami

AVVISI

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• [29/6/19] Gli orali del'appello A si terranno il 1/7/19 alle ore 16:00 in aula 211. È possibile sostenere l'orale anche nell'appello B.
• [19/6/19] Gli orali del preappello si terranno il 21/6/19 alle ore 16:00 in aula 211.
• [31/5/19] È possibile fare lo scritto del primo appello il giorno 11/6/2019 dalle 14:00 alle 16:00 in aula M4. (Chi consegna questo scritto non potrà fare lo scritto del 26/6/19.)
• Scaricare Esercizi con risposte da [E] su trasformazioni conformi (svolgerne una ventina).
• [12/3/19] Modalità d'esame:
  scritto di due ore su materiale "standard" (vedi testi esami scritti AA 2009/10 )
  orale: discussione di 1-2 teoremi (o proposizioni, proprietà, etc.) e di 1-2 esercizi assegnati.
  (non ci saranno esoneri)
• [11/3/19] Ho cambiato la definizione di λ_a nell'Es 1 del 4/3/19.

Orario di ricevimento:
Mercoledì 16:00-18:00 - Studio 210, Sezione di Matematica - Dipartimento di Matematica e Fisica

Programma di massima del corso

Il campo complesso. Il Teorema fondamentale dell'algebra.
Funzioni olomorfe (analitiche); equazioni di Cauchy-Riemann.
Serie e teorema di Abel. Esponenziale e logaritmo complesso.
Mappe conformi elementari. Integrazione complessa; teorema di Cauchy; formula di Cauchy.
Proprietà locali di funzioni olomorfe (singolarità, zeri e poli; teorema della mappa locale e principio del massimo)
Calcolo dei residui.
Funzioni armoniche.
Espansioni in serie (Teorema di Weierstrass, serie di Taylor).
Fratti parziali e prodotti infiniti.

Diario delle lezioni


• Lezioni 1 e 2 [25/2/19]
  Il campo complesso. Topologia. Serie geometrica, serie esponenziale. Formula di Eulero.
  Esercizi (da [A]): Cap 1, par 1.1, 1.4, 1.5. Cap 2, par 2.3.
  
  
• Lezioni 3 e 4 [27/2/19]
  Le funzioni trigonometriche e iperboliche su C. Teorema di addizione per l'esponenziale e conseguenze. Radici in C. Radici ennesime di un numero complesso.
  Esercizi (da [A]): Cap 1, par 1.2. Cap 2, par 2.1, par 2.2.
  
  
• Lezioni 5 e 6 [1/3/19]
  Teorema fondamentale dell'algebra. Definizione di derivata complessa e di funzione analitica (olomorfa). Equazioni di Cauchy-Riemann.
  Il campo complesso
  Es Sia a un numero complesso, |a|=1. Dimostrare che aⁿ converge se e solo se a=1.
  Esercizi (da [A]): Cap 2, par 1.2, Es 1, 2, 3, 4, 5.
  
  
• Lezioni 7 e 8 [4/3/19]
  f=u+iv è analitica su un aperto A se e solo se u e v sono differenziabili e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann. Se f è analitica, |f'|²=J=Jacobiano della mappa (x,y) -> (u,v).
  Funzioni armoniche e funzioni armoniche coniugate. Costruzione di armoniche coniugate tramite integrazione di forme differenziali. Esempi.
  Regole di derivazioni di funzioni complesse.
  Esempi di funzioni intere (analitiche su C): polinomi, exp z, sen z, cos z, sh z, ch z (calcolo delle loro derivate).
  Logaritmi complessi e le inverse dell'esponenziale su strisce {a - π < Im z < a + π}. Il ramo principale del logaritmo.
  Appunti presi in classe
  Es 1 Sia λ_a l'inversa dell'esponenziale definito sulla striscia {a - π < Im z < a + π}. Trovare il dominio di λ_a e dire che relazione c'è tra λ_π e λ₀.
  Es 2 Dimostrare che le funzioni |z|² e z non sono analitiche.
  
  
• Lezioni 9 e 10 [8/3/19]
  Definizione di funzione conforme.
  Teorema Una funzione f conforme e iniettiva su una regione ha inversa F=f ^{- 1} conforme e F '(w)=1/f '(z) con z=F(w).
  (Dimostrazione basata sul teorema della funzione inversa).
  Teorema Sia f una funzione analitica su una regione A. Assumiamo che valga (su tutto A) una delle seguenti ipotesi: f '=0; Re f= cost; Im f= cost; |f|= cost. Allora, f è costante su A.
  (Dimostrazione basata sulla connessione di A per "poligonali coordinate").
  Definizione di log z (z≠ 0) come insieme. Definizione di angoli. Calcolo di iⁱ.
  Appunti presi in classe (17/3/19)
  Esercizio
  
  
• Lezioni 11 e 12 [11/3/19]
  Il toro unidimensionale T:=R/(2π Z) è un gruppo abeliano additivo dotato di metrica.
  Omemorfismo di gruppo tra T e S¹.
  Angoli tra elementi non nulli di C. Argomento di un un numero complesso non nullo. Proprietà fondamentali di angoli e argomento.
  Curve, curve regolari, angoli tra curve.
  Gli operatori ∂ e ∂. ∂ f = 0 è equivalente alle equazioni di Cauchy-Riemann.
  Mappe che conservano gli angoli.
  Proposizione f è analitica con f ' ≠ 0 se e solo se f conserva gli angoli tra curve.
  Appunti presi in classe
  Esercizi
  
  
• Lezioni 13 e 14 [13/3/19]
  Mappe di Möbius (o trasformazioni lineari fratte): casi speciali; composizioni; struttura di gruppo; compattificazione di C e sfera di Riemann; proiezione stereografica; birapporto; le mappe di Möbius trasformano cerchi o rette in cerchi o rette.
  Appunti presi in classe
  Esercizi
  Esercizi dal Cap 3 di [A]: Es 1-3, par 2.2; Es 1-4, par 3.1; Es 1, par 3.2. Es 1-3, par 4.2.
  
  
• Lezioni 15 e 16 [18/3/19]
  Serie di potenze complesse. Formula di Hadamard per il raggio di convergenza. Una serie di potenze definisce una funzione analitica all'interno del disco di convergenza. [A, sez 4.2, cap 2]
  Appunti presi in classe
  Esercizi da [A]: Es 1-5, 8, 9 sez 4.2, cap 2.
  
  
• Lezione 17 [25/3/19]
  Integrazione complessa. L'integrale su una curva chiusa qualunque di una funzione f continua è zero se e solo se f=F '. [A, Cap 4, sez 1.1-1.3].
  Appunti presi in classe
  Esercizio
  Esercizi da [A]: Esercizi della sez 1.3, Cap 4.
  
  
• Lezioni 18 e 19 [27/3/19]
  Teorema di Cauchy su convessi per funzioni analitiche con singolarità eliminabili.
  Appunti presi in classe
  
  
• Lezione 20 [1/4/19]
  Indice e formula di Cauchy. [A, Cap 4, par 2.1 e 2.2]
  Appunti presi in classe
  Esercizi da [A]: Cap 4, par 2.2.
  
  
• Lezioni 21 e 22 [3/4/19]
  La derivata di una funzione analitica è analitica. Formula di Cauchy per le derivate di funzioni analitiche. Stime di Cauchy. Teorema di Liouville. Dimostrazione del Teorema fondamentale dell'algebra. Serie di Taylor di funzioni analitiche e stima geometrica sul raggio di convergenza. Formula di Taylor per funzioni analitiche (con resto analitico e sua rappresentazione di Cauchy).
  Appunti presi in classe
  Esercizi
  Esercizi da [A]: Cap 4, par 2.3, Es 1-5.
  
  
• Lezioni 23 e 24 [10/4/19]
  Zeri e poli di funzioni analitiche. [A, Cap 4, par 3.2]
  Appunti presi in classe
  Esercizi da [A]: Cap 4, par 3.2, Es 4,5.
  
  
• Lezioni 25 e 26 [15/4/19]
  Singolarità essenziali; teorema di Weierstrass [A, Cap 4 par 3.2]. Derivata logaritmica e numero di zeri di funzioni analitiche [A, Cap 4 par 3.3, Teorema 10].
  Appunti presi in classe
  Esercizi da [A]: Cap 4, par 3.2, Es 1,2,3,6.
  
  
• Lezioni 27 e 28 [17/4/19]
  Proprietà locali di mappe analitiche ([A], Cap 4, Par 3.3). Principio del massimo ([A], Cap 4, Par 3.4, Teoremi 12 e 12').
  Appunti presi in classe
  Esercizi da [A]: Cap 4, par 3.2, Es 1,2,3,6.
  
  
• Lezioni 29 [29/4/19]
  Teorema di Rouché [A: Corollario, p. 153] (nel caso di disco e curva chiusa). Lemma sul calcolo dell'indice [A: Lemma 2, p. 116].
  Appunti presi in classe
  Esercizi
  Esercizi da [A]: Cap 4, par 5.2, Es 1,2,3 p. 154.
  
  
• Lezione 30 [3/5/19]
  Dimostrazione del principio del massimo con la formula di Cauchy. Lemma di Schwarz. Caratterizzazione delle mappe conformi del cerchio su sé stesso.
  Appunti presi in classe
  
  
• Lezioni 31 e 32 [6/5/19]
  Cicli e catene. Regioni semplicemente connesse. Omologia dei cicli. Il teorema generale di Cauchy.
  Appunti presi in classe
  
  
• Lezioni 33 e 34 [8/5/19]
  Generalizzazione (omotopia) di: formula di Cauchy, teorema generale dei residui, principio dell'argomento, teorema di Rouché. Esempi di calcolo di integrali impropri.
  Appunti presi in classe
  
  
• Lezioni 35 e 36 [13/5/19]
  Convergenza di successioni di funzioni analitiche (Teorema di Weierstrass). Teorema di Hurwitz.
  Serie di Laurent.
  Appunti presi in classe
  Serie di Laurent
  
  
• Lezione 37 [20/5/19]
  Espansioni in fratti parziali; teorema di Mittag-Leffler [A, p. 187-190].
  Serie di Fourier di funzioni analitiche
  Appunti presi in classe esercizo.22-5-19
  
  
• Lezione 38 [22/5/19]
  Prodotti infiniti; caratterizzazione della convergenza in termini di serie [A, Cap 5, Par 2.2].
  Appunti presi in classe
  Esercizio
  
  
• Lezione 39 e 40 [24/5/19]
  Prodotti canonici e teorema di Weierstrass sulla rappresentazione di funzioni intere tramite prodotti canonici. Funzioni intere con genere finito. Rappresentazione canonica di sen π z.
  Appunti presi in classe

Diario delle esercitazioni
• Esercitazioni 1 e 2 [15/3/19] Discussione di esercizi su trasformazioni conformi e mappe di Möbius.
  Svolgimento dell'Es 1 Sez 4.2 Cap 3 di [A]

• Esercitazione 3 [25/3/19] Svolgimento di esercizi della sez 1.3, Cap 4 da [A].

• Esercitazione 4 [1/4/19] Svolgimento esercizi da [A].

• Esercitazioni 5 e 6 [8/4/19] Svolgimento di esercizi da [A].
  Appunti presi in classe
  Esercizio

• Esercitazione 7 [29/4/19] [A] Es 1, p. 154. Esercizi sul calcolo dell'indice.

• Esercitazione 8 [3/5/19] Esercizi su mappe conformi. Esempi e controesempi di domini semplicemente connessi. Es 1 [A, p. 129].

• Esercitazioni 9 e 10 [10/5/19] Esercizi sul calcolo dei residui e integrali complessi.
  Appunti presi in classe

• Esercitazioni 11 e 12 [15/5/19] Calcolo dei coefficienti delle serie di Laurent. Calcolo dell'integrale tra 0 e π di log (sin x).
  Appunti presi in classe
  Esercizi

• Esercitazioni 13 e 14 [17/5/19] Svolgimento di integrali con residui (Es 2 e 3 assegnati il 15/5/19).
  Appunti presi in classe

• Esercitazione 15 [20/5/19] Espansione in fratti parziali di π² / sen² π z ; π cot π z ; π / sen π z .

• Esercitazione 16 [22/5/19] Es 1, p. 193 [A]. Quando vale log (ab)=log a + log b, dove log è il ramo principale del logaritmo (log 1 = 0) definito su C \ (-∞,0].

• Esercitazioni 17 e 18 [27/5/19] Svolgimento esami scritti dell'11/4/2001 e 3/6/2010.
  Appunti presi in classe

• Esercitazioni 19 e 20 [29/5/19] Svolgimento esami scritti dell'15/1/2010 e 13/7/2010.
  Appunti presi in classe

Esami

Appello A : 26/6/19; 9:00-11:00, aula M3.
Testo preappello
Testo appello A

Appello B : 17/7/19; 9:00-11:00, aula M3.
Testo appello B

Appello X : 4/9/19; 9:00-11:00, aula M3.
Testo appello X

Appello C : 3/2/20; 15:00-17:00, aula M3.
Testo appello C

Bibliografia
[A] Ahlfors, Lars V, Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. Third edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill Book Co., New York, 1978. xi+331 pp. ISBN 0-07-000657-1

[L] Lang, Serge Complex analysis. (English summary) Fourth edition. Graduate Texts inMathematics, 103. Springer-Verlag, New York, 1999. xiv+485 pp. ISBN 0-387-98592-1

[P] Pap, Endre Complex Analysis Through Examples and Exercises Kluwer Texts in the Mathematical Sciences, V. 21 (Hardcover, 1999)

[E] M. Evgrafov, Coll, Recueil de problèmes sur la théorie des fonctions analytiques, Traduction francaise, Editions Mir, 1974.

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: luigi@mat.uniroma3.it