FM210 - Fisica Matematica I
AA 2011-2012 - I Semestre (Docente: Alessandro Giuliani / Esercitatore: Michele Correggi)
- Avvisi
- Programma
- Diario delle Lezioni
- Esercitazioni e Tutorato
- Orari
- Bibliografia
- Esami ed Esoneri
- Programma
Avvisi
L'orale dell'appello di settembre si svolgerà venerdì 14 Settembre 2012 alle ore 9:30 in aula G.
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Lezioni 1 e 2 [19/9/2011] Equazioni di Newton. Riduzione a un sistema di equazioni differenziali del prim'ordine. Un caso risolubile: sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti (Capitolo 2.8 di [Ge]). Alcuni esempi elementari: d=1; matrici triangolari 2x2. Richiami di algebra lineare: cambiamento di base e di coordinate, matrici diagonalizzabili, spettro di una matrice, autovettori, criteri di diagonalizzabilità (Capitolo 1 di [Ge]).
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Lezioni 3 e 4 [21/9/2011] Risolubilità dei sistemi di equazioni differenziali lineari del prim'ordine a coefficienti costanti nel caso di una matrice diagonalizzabile (Capitolo 2 di [Ge]). Costruzione della base diagonale. Esempi. Un esempio di matrice 2x2 non diagonalizzabile.
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Lezioni 5 e 6 [23/9/2011] Strategia generale per la risoluzione di sistemi di equazioni differenziali lineari del prim'ordine a coefficienti costanti (Capitolo 2 di [Ge]): caso omogeneo e caso non omogeneo. Teorema: l'integrale generale del problema non omogeneo si scrive come somma dell'integrale generale del caso omogeneo piú una soluzione particolare del non omogeneo (Capitolo 2.9 di [Ge]). Sistemi planari lineari omogenei (Capitolo 2.6 di [Ge]): discussione generale delle proprietà qualitative del moto (nodi propri e impropri, pozzi e sorgenti, moti a spirale, centri).
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Lezioni 7 e 8 [26/9/2011] L'oscillatore armonico smorzato e forzato (Esempi 8.8 e 9.12 del Capitolo 2 di [Ge]). L'oscillatore armonico forzato in assenza di attrito (Esercizio 24 del Capitolo 2 di [Ge]). Risonanze (Esercizio 26 del Capitolo 2 di [Ge]).
- Lezioni 9 e 10 [30/9/2011] Sistemi di equazioni differenziali non lineari. Il problema di Cauchy (Capitolo 3 di [Ge]). Funzioni Lipschitziane. Teorema di esistenza e unicità locale (esistenza: cenni di dimostrazione, metodo degli approssimanti di Picard e stima esplicita dell'intervallo di esistenza) (Capitolo 3.10 di [Ge]). Esempio: la condizione di Lipschitz è necessaria per l'unicità (ma non per l'esistenza). Lemma di Gronwall. Teorema di dipendenza continua dai dati iniziali (corollario: unicità della soluzione al problema di Cauchy). Teorema di dipendenza C^k dai dati iniziali (solo enunciato) (Capitolo 3.11 di [Ge]). Esempio: avere f regolarissima (e.g., analitica) non è sufficiente a garantire l'esistenza globale della soluzione.
- Lezioni 11 e 12 [03/10/2011] Prolungamento di una soluzione. Esistenza del prolungamento massimale. Teoremi di prolungamento: caratterizzazione del comportamento della soluzione massimale ai bordi dell'intervallo di esistenza massimale. Corollario: stime a priori sulla soluzione implicano esistenza globale (Capitolo 3.12 di [Ge]).
- Lezioni 13 e 14 [06/10/2011] Lemma: traiettorie distinte di un sistema dinamico non si intersecano. Teorema: le equazioni di Newton con forze conservative definite su tutto lo spazio ammettono soluzione unica globale nel tempo. Digressione: matrici simmetriche e (semi)definite positive. L'esistenza globale delle soluzioni delle equazioni di Newton è valida anche nel caso in cui la matrice di massa sia simmetrica e definita positiva e/o le equazioni contengano un termine di attrito viscoso associato a una matrice di viscosità semidefinita positiva.
- Lezioni 17 e 18 [14/10/2011] Sistema dinamico linearizzato attorno a un punto di equilibrio. Teorema: se gli autovalori del linearizzato hanno tutti parte reale negativa, allora il punto di equilibrio è asintoticamente stabile. Digressione: prodotto scalare e norma nella base non standard; equivalenza tra le norme in R^n. (Capitolo 4.17 di [Ge]).
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- Lezioni 19 e 20 [17/10/2011]
Teorema: se esiste almeno un autovalore del linearizzato con parte reale positiva, allora il punto di equilibrio è instabile. Teorema di Ljapunov. Insieme omega-limite. (Capitolo 4 di [Ge]). -
- Lezioni 21 e 22 [19/10/2011]
Teorema di Dirichlet. Teorema di Barbasin-Krakovski. Alcune conseguenze: stabilità asintotica dei punti di minimo locale dell'energia potenziale in sistemi meccanici con attrito; instabilità dei punti stazionari (di sella o di massimo locale) dell'energia potenziale in sistemi meccanici con o senza attrito. (Capitolo 4.18 di [Ge]). -
- Lezioni 23 e 24 [21/10/2011]
Analisi qualitativa di sistemi meccanici conservativi unidimensionali: il caso del potenziale quartico a doppia buca. Studio delle curve di livello, calcolo delle traiettorie, calcolo e stima del periodo dei moti periodici, calcolo del moto sulla separatrice, integrabilità per quadrature del moto (equazione implicita per la legge oraria del moto). (Capitolo 6 di [Ge]). -
- Lezioni 25 e 26 [26/10/2011]
Esempio: un sistema meccanico conservativo 1D con energia potenziale non limitata dal basso che ammette soluzione globale nel tempo. Analisi qualitativa di un sistema dinamico conservativo planare. (Capitolo 5.24 di [Ge]). -
- Lezioni 27 e 28 [07/11/2011]
Integrabilità dei moti in campo centrale e del moto di due particelle in R^3 che si attraggono o respingono con una coppia di forze radiali uguali e opposte. Moto del baricentro e moto relativo. Conservazione della quantità di moto totale e del momento angolare. Riduzione dimensionale e integrali primi. Potenziale efficace. L'equazione della traiettoria. I punti stazionari dell'energia potenziale efficace corrispondono a moti periodici del sistema. (Capitolo 7 di [Ge]). -
- Lezioni 29 e 30 [11/11/2011]
Moti quasi-periodici. Integrazione del moto in potenziale gravitazionale. Moti a energia negativa: periodicità, traiettorie ellittiche e leggi di Keplero. (Capitolo 7 di [Ge]). -
- Lezioni 31 e 32 [16/11/2011]
Cambiamento di sistemi di riferimento. Matrici di rotazione in tre dimensioni. Vettore di velocità angolare. Relazione tra la velocità nel sistema di riferimento fisso e quella nel sistema di riferimento mobile. (Capitolo 8 di [Ge]). -
- Lezioni 33 e 34 [18/11/2011]
Sezioni d'urto differenziale e formula di Rutherford (complementi - Capitolo 4 di [LL]). Relazione tra l'accelerazione nel sistema di riferimento fisso e quella nel sistema di riferimento mobile. Forze fittizie: forze inerziali, di Coriolis e centrifuga (Capitolo 8 di [Ge]). Il potenziale efficace nel problema dei moti centrali come effetto di un cambiamento di sistema di riferimento adattato alle due particelle. - Lezioni 35 e 36 [21/11/2011] Il pendolo di Foucault. (Capitolo 8 di [Ge] e [Ar])
- Lezioni 37 e 38 [25/11/2011] Corpo rigido: definizione, forze di reazione vincolare e calcolo dell'energia cinetica. (Capitolo 9 di [Ge] e [Ar]) Operatore d'inerzia (Capitolo 10 di [Ge] e [Ar])
- Lezioni 39 e 40 [28/11/2011] Corpo rigido nello spazio senza punto fisso (con sistema solidale fissato nel baricentro) e con punto fisso. Quantità di moto e momento angolare di un corpo rigido. Diagonalizzabilità dell'operatore d'inerzia: assi e momenti principali di inerzia. Equazioni cardinali della dinamica del corpo rigido. Moto di un corpo rigido in campo gravitazionale: disaccoppiamento del moto del baricentro (accelerazione del baricentro = accelerazione di gravità) e del moto di rotazione attorno al baricentro. Equazioni di Eulero. (Capitolo 9 e Capitolo 10 di [Ge]; [Ar])
- Lezioni 41 e 42 [2/12/2011] Soluzione delle equazioni di Eulero: caso simmetrico (ellissoide d'inerzia di rotazione) e caso generale (Capitolo 10 di [Ge]; [LL])
- Lezioni 43 e 44 [5/12/2011] Soluzione delle equazioni di Eulero: conclusione della discussione nel caso asimmetrico. Angoli di Eulero e descrizione del moto nel sistema di riferimento fisso. Il vettore velocità angolare in termini degli angoli di Eulero. Rotazioni stazionarie. (Capitolo 10 di [Ge]; [LL]; [Ar])
- Lezioni 45 e 46 [12/12/2011] La trottola pesante: integrabilità del corpo rigido con punto fisso in presenza di gravità (prima parte) ([Ar])
- Lezioni 47 e 48 [16/12/2011] La trottola pesante: integrabilità del corpo rigido con punto fisso in presenza di gravità (seconda parte). La trottola addormentata e la trottola veloce. ([Ar])
Diario delle Lezioni
- Esercitazioni 1 e 2 [22/09/2011] Forma canonica di Jordan, esempi di riduzione in forma canonica di Jordan (Appendice 2 di [Ge]).
- Esercitazioni 3 e 4 [28/09/2011] Oscillatore armonico forzato smorzato con forzante periodica generica, cenni alla serie di Fourier, caso risonante generico (Esercizi 27 e 28 del Capitolo 2 di [Ge]). Moto di un grave in un fluido viscoso (Esercizio 1.9 dell'Appendice 1 di [Ge]).
- Tutorati 1 e 2 [29/09/2011] Sistemi lineari di equazioni differenziali a coefficienti costanti (esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 5 e 6 [05/10/2011] Teorema del prolungamento e discussione (Capitolo 3.12 di [Ge]). Oscillatore anarmonico (Esercizio 9 del Capitolo 3 di [Ge]). Problemi di Cauchy non autonomi: teorema di esistenza e unicità. Problemi di Cauchy a variabili separabili (Capitolo 3.13 di [Ge]). Intervallo di esistenza della soluzione massimale (Esercizio 22 del Capitolo 3 di [Ge]).
- Tutorati 3 e 4 [06/10/2011] Problemi di Cauchy (esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 7 e 8 [12/10/2011] Analisi qualitativa del moto: un caso completamente risolubile. Il sistema linearizzato (Esempio 17.16 del Capitolo 4 di [Ge]).
- Tutorati 5 e 6 [13/10/2011] Integrali primi del moto e sistemi linearizzati (esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 9 e 10 [20/10/2011] Pendolo semplice con e senza attrito (Capitolo 5.23 di [Ge]).
- Tutorati 7 e 8 [27/10/2011] Analisi qualitative del moto (esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 11 e 12 [28/10/2011] Prova pre-esonero (testo, soluzioni).
- Esercitazioni 13 e 14 [09/11/2011] Oscillatore armonico tridimensionale (Capitolo 7.31 di [Ge]).
- Tutorati 9 e 10 [10/11/2011] Campi centrali (esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 15 e 16 [14/11/2011] Orbite aperte per il potenziale gravitazionale (Capitolo 7.31 di [Ge]). Teorema di Bertrand (Capitolo 7.32 di [Ge]).
- Tutorati 11 e 12 [17/11/2011] Urti tra particelle e diffusione (esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 17 e 18 [23/11/2011] Pendolo di Foucault (parte II). Deviazione dalla verticale nella caduta di un grave (Capitolo 8.34 di [Ge]).
- Tutorati 13 e 14 [24/11/2011] Cambiamenti di sistema di riferimento e forze fittizie (esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 19 e 20 [30/11/2011] Ellissoide di inerzia e simmetrie. Teorema di Huygens-Steiner (Capitolo 10.42 di [Ge]). Calcolo di momenti di inerzia: due punti vincolati, sbarra sottile, disco sottile, lamina sottile, sfera e cono (Esempi 42.29, 42.30, 42.31, 42.34, 42.35 e 42.36 del Capitolo 10 di [Ge]).
- Tutorati 15 e 16 [01/12/2011] Calcolo di momenti di inerzia: anello sottile, corona circolare e cilindro. Cinematica del corpo rigido (esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 21 e 22 [07/12/2011] Trottola simmetrica e asimmetrica (Capitoli 6.35, 6.36, 6.37 di [LL]).
- Tutorati 17 e 18 [15/12/2011] Corpo rigido: cinematica e dinamica (esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 23 e 24 [19/12/2011] Prova pre-esonero (testo, soluzioni).
- Tutorati 19 e 20 [9/1/2012] Prova pre-esonero (testo, soluzioni).
Esercitazioni e Tutorato
- Lunedì ore 14-16 [aula F].
- Mercoledì ore 9-11 [aula G] (esercitazioni).
- Giovedì ore 11-13 [aula G] (tutorato).
- Venerdì ore 9-11 [aula G].
Orari
Esami ed Esoneri
Modalità: Esame scritto e orale. Il primi due appelli si terranno a Gennaio-Febbraio 2012. Durante il corso si terranno due esoneri, il primo nella settimana 31 Ottobre - 4 Novembre 2011, il secondo a Gennaio 2012. Chi supererà con successo le due prove di esonero potrà accedere all'esame orale senza dover svolgere l'esame scritto. Per superare con successo le due prove di esonero è necessario ottenere almeno 16/30 in entrambe le prove, e una media di almeno 18/30. Chi avrà superato con successo gli esoneri potrà sostenere l'orale entro la sessione di Settembre 2012. Potranno sostenere la prova scritta anche coloro avessero superato con successo gli esoneri e volessero migliorare il proprio voto; in questo caso gli esoneri perderanno valore al momento della consegna al docente dell'esame svolto. Chi avrà superato con successo l'esame scritto (i.e., con almeno 18/30) dovrà sostenere la prova orale nella stessa sessione dello scritto (ad esempio, chi supera uno scritto nella sessione di Gennaio/Febbraio 2012 -- al primo o al secondo appello -- deve sostenere la prova orale entro Febbraio 2012 stesso).
- [Ge] G. Gentile, Introduzione ai Sistemi Dinamici: 1, disponibile online qui.
- [Ga] G. Gallavotti, Meccanica Elementare, ed. P. Boringhieri, Torino, 1986, p. 1-536, disponibile online in versione inglese qui (pdf, djvu).
- [Ar] V.I. Arnol’d, Metodi Matematici della Meccanica Classica, Editori Riuniti, Roma, 1979.
- [LL] L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Meccanica, Editori Riuniti, Roma, 1976.
Testi consigliati
Ultima modifica 8/9/2012