FM210 - Fisica Matematica I
AA 2012-2013 - I Semestre (Docente: Alessandro Giuliani / Esercitatore: Michele Correggi)
- Avvisi
- Programma
- Diario delle Lezioni
- Esercitazioni e Tutorato
- Orari
- Bibliografia
- Esami ed Esoneri
- Programma
Avvisi
- L'appello orale di settembre si svolgerà mercoledì 11 settembre 2013 a partire dalle ore 8:30 in aula 311.
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Lezioni 1 e 2 [26/9/2012] Equazioni di Newton. Riduzione a un sistema di equazioni differenziali del prim'ordine. Un caso risolubile: sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti (Capitolo 2.8 di [Ge]). Alcuni esempi elementari: d=1; matrici diagonali o triangolari in d>1. Richiami di algebra lineare: cambiamento di base e di coordinate, matrici diagonalizzabili, spettro di una matrice, autovettori (Capitolo 1 di [Ge]).
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Lezioni 3 e 4 [28/9/2012] Risolubilità dei sistemi di equazioni differenziali lineari del prim'ordine a coefficienti costanti nel caso di una matrice diagonalizzabile (Capitolo 2 di [Ge]). Criteri di diagonalizzabilità. Costruzione della base diagonale. Esempi.
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Lezioni 5 e 6 [3/10/2012] Strategia generale per la risoluzione di sistemi di equazioni differenziali lineari del prim'ordine a coefficienti costanti (Capitolo 2 di [Ge]): caso omogeneo e caso non omogeneo. Sistemi planari lineari omogenei (Capitolo 2.6 di [Ge]): discussione generale delle proprietà qualitative del moto (nodi propri e impropri, pozzi e sorgenti, moti a spirale, centri). L'oscillatore armonico smorzato.
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Lezioni 7 e 8 [5/10/2012] Sistemi di equazioni differenziali non lineari. Il problema di Cauchy (Capitolo 3 di [Ge]). Funzioni Lipschitziane. Teorema di esistenza e unicità locale (esistenza: cenni di dimostrazione, metodo degli approssimanti di Picard e stima esplicita dell'intervallo di esistenza) (Capitolo 3.10 di [Ge]). Esempio: la condizione di Lipschitz è necessaria per l'unicità (ma non per l'esistenza). Lemma di Gronwall. Teorema di dipendenza continua dai dati iniziali (corollario: unicità della soluzione al problema di Cauchy). Teorema di dipendenza C^k dai dati iniziali (solo enunciato) (Capitolo 3.11 di [Ge]). Esempio: avere f regolarissima (e.g., analitica) non è sufficiente a garantire l'esistenza globale della soluzione.
- Lezione 9 [10/10/2012] Prolungamento di una soluzione. Esistenza del prolungamento massimale. Lemma: traiettorie distinte di un sistema dinamico non si intersecano.
- Lezioni 10 e 11 [12/10/2012] Teoremi di prolungamento: caratterizzazione del comportamento della soluzione massimale ai bordi dell'intervallo di esistenza massimale. Corollario: stime a priori sulla soluzione implicano esistenza globale. Teorema: le equazioni di Newton con forze conservative definite su tutto lo spazio ammettono soluzione unica globale nel tempo. Digressione: matrici simmetriche e (semi)definite positive. L'esistenza globale delle soluzioni delle equazioni di Newton è valida anche nel caso in cui la matrice di massa sia simmetrica e definita positiva e/o le equazioni contengano un termine di attrito viscoso associato a una matrice di viscosità semidefinita positiva. (Capitolo 3.12 di [Ge]).
- Lezioni 12 e 13 [17/10/2012] Teoremi di esistena e unicità globale nel caso non autonomo. Esistenza globale di soluzioni di sistemi lineari a coefficienti dipendenti dal tempo. Insiemi invarianti, derivata sostanziale, integrali primi, superfici di livello, punti di equilibrio. Stabilità, instabilità attrattività di un punto di equilibrio. Esempio: un punto di equlibrio attrattivo e instabile (Capitolo 4.16 di [Ge]).
- Lezioni 14 e 15 [19/10/2012] Alcuni esempi di punti di equilibrio e stabilità: sistemi lineari (classificazione delle proprietà di stabilità) e sistemi meccanici (i punti di equilibrio corrispondono a punti critici dell'energia potenziale. Enunciato del teorema di stabilità lineare. Alcune applicazioni ed esempi: (1) se gli autovalori del linearizzato sono nulli, l'equilibrio del sistema non lineare può essere stabile o instabile, a seconda della forma dei termini non lineari; (2) un minimo proprio dell'energia potenziale di un sistema meccanico con attrito non nullo e' asintoticamente stabile; (3) un punto di sella (o massimo) proprio dell'energia potenziale di un sistema meccanico conservativo è instabile. Digressione: principio variazionale per l'autovalore minimo di una matrice reale simmetrica.
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- Lezioni 16 e 17 [24/10/2012]
Teorema di stabilità: se tutti gli autovolari del linearizzato hanno parte reale negativa, il punto di equilibrio è asintoticamente stabile; se esiste almeno un autovalore del linearizzato con parte reale positiva, allora il punto di equilibrio è instabile. (Capitolo 4 di [Ge]). -
- Lezione 18 [25/10/2012]
Funzione di Ljapunov. Teorema di Ljapunov. Insieme omega-limite. Teorema di Dirichlet (Capitolo 4 di [Ge]). -
- Lezioni 19 e 20 [7/11/2012]
Teorema di Barbasin-Krakowski (Capitolo 4 di [Ge]). Il pendolo matematico: derivazione delle equazioni del moto. -
- Lezioni 21 e 22 [9/11/2012]
Il pendolo matematico: studio qualitativo delle soluzioni alle equazioni del moto al variare dei dati iniziali e integrazione per quadrature del moto. Grafico delle traiettorie nello spazio delle fasi, calcolo del periodo delle orbite e soluzione esplicita del moto sulla separatrice (Capitolo 5 di [Ge]). -
- Lezioni 23 e 24 [14/11/2012]
Un altro esempio illustrativo di analisi qualitativa per sistemi unidimensionali meccanici conservativi: il caso di U(x)=-x+x3. -
- Lezioni 25 e 26 [16/11/2012]
Un esempio illustrativo di analisi qualitativa per sistemi planari Hamiltoniani (Capitolo 5.24 di [Ge]) -
- Lezione 27 [21/11/2012]
Integrabilità dei moti in campo centrale e del moto di due particelle in R^3 che si attraggono o respingono con una coppia di forze radiali uguali e opposte. Moto del baricentro e moto relativo. Conservazione del momento angolare. Riduzione dimensionale e integrali primi. Potenziale efficace. L'equazione della traiettoria. (Capitolo 7 di [Ge]). -
- Lezioni 28 e 29 [23/11/2011]
Equazione della traiettoria di una particella in campo centrale. I punti stazionari dell'energia potenziale efficace corrispondono a moti periodici del sistema. Periodo del moto radiale e periodo del moto angolare. Moti quasi-periodici e condizioni di periodicità del moto complessivo. (Capitolo 7 di [Ge]). -
- Lezioni 30 e 31 [28/11/2011]
Integrazione del moto in campo gravitazionale. Moti a energia negativa: periodicità, traiettorie ellittiche e leggi di Keplero. (Capitolo 7 di [Ge]). -
- Lezioni 32 e 33 [30/11/2012]
Integrali primi nascosti e moti periodici. Teorema di Bertrand (solo enunciato). Cambiamento di sistemi di riferimento. Matrici di rotazione in tre dimensioni. Vettore di velocità angolare. Relazione tra la velocità nel sistema di riferimento fisso e quella nel sistema di riferimento mobile. (Capitolo 8 di [Ge]). -
- Lezioni 34 e 35 [5/12/2012]
Relazione tra l'accelerazione nel sistema di riferimento fisso e quella nel sistema di riferimento mobile. Forze fittizie: forze inerziali, di Coriolis e centrifuga. Il pendolo in un mezzo in accelerazione lineare costante: verticale effettiva. Moto di un grave in presenza della forza di Coriolis dovuta alla rotazione terrestre (Parte 1). (Capitolo 8 di [Ge]). -
- Lezioni 36 e 37 [7/12/2012]
Moto di un grave in presenza della forza di Coriolis dovuta alla rotazione terrestre (Parte 2). Il pendolo di Foucault (Parte 1). (Capitolo 8 di [Ge]). - Lezioni 38 e 39 [12/12/2012] Corpo rigido: definizione, forze di reazione vincolare e calcolo dell'energia cinetica. (Capitolo 9 di [Ge] e [Ar]) Operatore d'inerzia (Capitolo 10 di [Ge] e [Ar])
- Lezioni 40 e 41 [14/12/2012] Corpo rigido nello spazio senza punto fisso (con sistema solidale fissato nel baricentro) e con punto fisso. Quantità di moto e momento angolare di un corpo rigido. Diagonalizzabilità dell'operatore d'inerzia: assi e momenti principali di inerzia. Equazioni cardinali della dinamica del corpo rigido. Moto di un corpo rigido in campo gravitazionale: disaccoppiamento del moto del baricentro (accelerazione del baricentro = accelerazione di gravità) e del moto di rotazione attorno al baricentro. Equazioni di Eulero. (Capitolo 9 e Capitolo 10 di [Ge]; [Ar])
- Lezione 42 [18/12/2012] Equazioni di Eulero: grandezze conservate e soluzione nel caso simmetrico. Angoli di Eulero.
- Lezione 43 [20/12/2012] Ancora sugli angoli di Eulero. Il vettore velocità angolare in termini degli angoli di Eulero. Descrizione del moto nel sistema di riferimento fisso nel caso simmetrico. (Capitolo 10 di [Ge]; [LL]; [Ar])
- Lezioni 44 e 45 [21/12/2012] Equazioni di Eulero: soluzione nel caso generale. Descrizione del moto nel sistema di riferimento fisso nel caso generale. Rotazioni stazionarie. (Capitolo 10 di [Ge]; [LL]).
Diario delle Lezioni
- Esercitazioni 1 e 2 [2/10/2012] Forma canonica di Jordan, esempi di riduzione in forma canonica di Jordan (Appendice 2 di [Ge]).
- Tutorati 1 e 2 [4/10/2012] Sistemi lineari di equazioni differenziali a coefficienti costanti (esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 3 e 4 [9/10/2012] Oscillatore armonico forzato smorzato con forzante periodica generica, cenni alla serie di Fourier, caso risonante generico (Esercizi 27 e 28 del Capitolo 2 di [Ge]).
- Tutorati 3 e 4 [11/10/2012] Problemi di Cauchy, l'oscillatore armonico forzato e smorzato (esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 5 e 6 [16/10/2012] Problemi di Cauchy a variabili separabili (Capitolo 3.12 di [Ge]) Esistenza globale del moto e quantità conservate: sistemi unidimensionali e planari.
- Tutorati 5 e 6 [18/10/2011] Esistenza globale. Stabilità di punti di equilibrio. Matrici definite positive e positività degli autovalori (esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 7 e 8 [23/10/2012] Punti di equilibrio, sistema dinamico linearizzato e stabilità.
- Tutorato 7 [25/10/2011] Sistemi planari, grandezze conservate e esistenza globale. Punti di equlibrio, criteri di stabilità: stabilità lineare e teorema di Ljapunov (esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 9 e 10 [26/10/2012] Prova pre-esonero (testo, soluzioni).
- Esercitazioni 11 e 12 [6/11/2012] Analisi qualitativa del moto: sistemi meccanici unidimensionali.
- Tutorati 8 e 9 [8/11/2012] Analisi qualitativa del moto: sistemi meccanici unidimensionali. Instabilit&\agrave; di un punto di massimo o di sella proprio con il criterio di stabiltà lineare (esercizi, soluzioni)
- Esercitazioni 13 e 14 [13/11/2012] Analisi qualitativa del moto: sistemi meccanici unidimensionali conservativi e sistemi planari Hamiltoniani.
- Tutorati 10 e 11 [15/11/2012] Sistemi planari Hamiltoniani. Sistemi meccanici conservativi unidimensionali. (esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 15 e 16 [20/11/2012] L'oscillatore armonico tridimensionale: integrabilità, periodicità e calcolo delle traiettorie. (Capitolo 7.31 di [Ge]).
- Tutorati 12 e 13 [22/11/2012] Moti in campo centrale. Superintegrabilità dell'oscillatore armonico bidimensionale: identificazione dell'integrale primo aggiuntivo (esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 17 e 18 [27/11/2012] Diffusione di un fascio di particelle su un centro. Sezione d'urto differenziale. Il caso del potenziale gravitazionale: la formula di Rutherford (Capitoli 4.18 e 41.19 del [LL]). Orbite aperte del potenziale gravitazionale (Capitolo 7.31 di [Ge]).
- Tutorati 14 e 15 [29/11/2012] Moto in campo centrale. Diffusione e sezione d'urto dfeerenziale. Superintegrabilità del problema dei due corpi: identificazione dell'integrale primo aggiuntivo - il vettore di Runge-Lenz (esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 19 e 20 [4/12/2012] Piccole oscillazioni. Cambiamenti di sistema di riferimento (uomo sulla giostra e caduta di un grave su un mezzo in accelerazione lineare costante).
- Tutorati 16 e 17 [6/12/2012] Cambiamenti di sistema di riferimento. Forze fittizie (esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 21 e 22 [11/12/2012] Il pendolo di Foucault (Parte 2).
- Tutorati 18 e 19 [13/12/2012] Centro di massa, matrice d'inerzia, momenti ed assi principali di inerzia (esercizi, soluzioni).
- Esercitazioni 23 e 24 [19/12/2012] Ellissoide di inerzia e simmetrie. Teorema di Huygens-Steiner (Capitolo 10.42 di [Ge]). Calcolo del momento di inerzia di un cono (Esempio 42.36 del Capitolo 10 di [Ge]).
- Tutorato straordinario Matrice d'inerzia, momenti ed assi principali di inerzia, corpo rigido, rotazioni stazionarie, equazioni di Eulero (esercizi, soluzioni).
- Esercitazione straordinaria [9/1/2013] Prova pre-esonero (testo, soluzioni).
Esercitazioni e Tutorato
- Martedì ore 14-16 [aula F] (esercitazioni).
- Mercoledì ore 16-18 [aula F].
- Giovedì ore 16-18 [aula F] (tutorato).
- Venerdì ore 14-16 [aula F].
Orari
Esami ed Esoneri
Modalità: Esame scritto e orale. Il primi due appelli si terranno a Gennaio-Febbraio 2013. Durante il corso si terranno due esoneri, il primo nella settimana 29 Ottobre - 5 Novembre 2012, il secondo a Gennaio 2013. Chi supererà con successo le due prove di esonero potrà accedere all'esame orale senza dover svolgere l'esame scritto. Per superare con successo le due prove di esonero è necessario ottenere almeno 16/30 in entrambe le prove, e una media di almeno 18/30. Chi avrà superato con successo gli esoneri potrà sostenere l'orale entro la sessione di Settembre 2013. Potranno sostenere la prova scritta anche coloro avessero superato con successo gli esoneri e volessero migliorare il proprio voto; in questo caso gli esoneri perderanno valore al momento della consegna al docente dell'esame svolto. Chi avrà superato con successo l'esame scritto (i.e., con almeno 18/30) dovrà sostenere la prova orale nella stessa sessione dello scritto (ad esempio, chi supera uno scritto nella sessione di Gennaio/Febbraio 2013 -- al primo o al secondo appello -- deve sostenere la prova orale entro Febbraio 2013 stesso).
- [Ge] G. Gentile, Introduzione ai Sistemi Dinamici: 1, disponibile online qui.
- [Ga] G. Gallavotti, Meccanica Elementare, ed. P. Boringhieri, Torino, 1986, p. 1-536, disponibile online in versione inglese qui (pdf, djvu).
- [Ar] V.I. Arnol’d, Metodi Matematici della Meccanica Classica, Editori Riuniti, Roma, 1979.
- [LL] L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Meccanica, Editori Riuniti, Roma, 1976.
Testi consigliati
Ultima modifica 8/9/2013