AM430 - Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

AA 2020-2021 - I Semestre

Prof. Luigi Chierchia

Indice
Avvisi
Orario delle lezioni
Programma di massima del corso
Programma dettagliato del corso
Diario delle lezioni/esercitazioni
Testi consigliati
Esoneri ed esami

AVVISI

• [27/1/21] Programma dettagliato del corso

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• [15/12/20] Potete scaricare qui un test di preparazione allo scritto . Suggerisco di fare una prova a casa di tre ore secondo le modalità indicate, entro lunedì 21/12/20.
  Dalle 16 alle 18 di lunedì 21/12/20 discuterò la soluzione del test online durante una lezione aggiuntiva.
• [24/10/20] In ottemperanza alle disposizioni di legge e alle indicazioni dell'Ateneo, da lunedì 26/10/20 le lezioni proseguiranno solo in modalità remota tramite Teams.
• [30/9/20] Per le lezioni in presenza è necessario prenotarsi mandandomi una mail entro le 13:00 del giorno di lezione.
• [25/9/20] Il corso verrà svolto in modalità mista (in presenza e in remoto). L'aula sarà la M6 (NON la 009), stesso orario.
• Il programma del corso sarà diverso dal programma dell'anno scorso (in particolare, avrà un taglio più applicativo).
• Modalità di esame: l'esame consisterà di un esame scritto (su esercizi del livello di quelli discussi a lezione) e di un colloquio orale.

Programma di massima del corso
• Esempi e discussione di esempi di equazioni differenziali risolubili.
• Il problema di Cauchy (IVP). Esempi di soluzioni multiple.
• Tempi di esistenza. Blow-up in tempi finiti.
• Lemma di Gronwall e unicità per sistemi Lipschitziani.
• Soluzioni massimali.
• Teorema di esistenza e unicità di Picard-Lindelöf
• Teoremi di confronto e analisi qualitativa.
• Dipendenza da parametri.
• Sistemi lineari a coefficienti costanti: soluzioni esplicite. Analisi qualitativa. Classificazione nel caso 2x2.
• Spazio delle fasi. Esempi.
• Introduzione alla stabilità.

Diario delle lezioni/esercitazioni
• Lezioni 1 e 2 [28/9/20] Il problema di Cauchy. Equazioni differenziali scalari, lineari. Equazioni differenziali a variabili separabili. Blow-up in tempi finiti. Non unicità . Equazioni di Newton scalari.
  Slides della lezione
  Registrazione della lezione

• Lezioni 3 e 4 [30/9/20] Equazione dell'oscillatore armonico; descrizione di tutti i moti anche con lo spazio delle fasi. Unicità per equazioni del second'ordine, lineari, omogenee a coefficienti costanti.
  Slides della lezione
  

• Lezioni 5 e 6 [2/10/20] Equazioni del second'ordine, lineari omogenee a coefficienti costanti. Esponenziale complesso, teorema di addizione e formula di Eulero. Soluzioni complesse. Polinomio caratteristico. Analisi dei vari casi e soluzione del problema generale di Cauchy.
  Esercizio: Discutere in dettaglio l'equazione dell'oscillatore armonico smorzato m x''+ l x' + k x=0 con l,k>0. Mostrare che tutte le soluzioni tendono a zero esponenzialmente e che se l^2>4mk non ci sono oscillazioni (forte attrito), mentre se l^2<4k (attrito debole) ci sono infinite oscillazioni.
  Fare 10 esercizi di questo file
  Slides della lezione
  Registrazione della lezione

• Lezioni 7 e 8 [5/10/20] Lemmi di Gronwall. Teorema di confronto.
  Slides della lezione (slides corrette il 7-10-20)
  Registrazione della lezione

• Lezioni 9 e 10 [7/10/20] Svolgimento di cinque esercizi dal file . Analisi completa del sistema: x'=x (1-x) -c, x(to)=xo (in particolare determinazione dell'intervallo masimale di esistenza della soluzione al variare del dato iniziale e del parametro c).
  Slides della lezione
  Registrazione della lezione

• Lezioni 11 e 12 [9/10/20] Teorema di Picard-Lindelof. Soluzioni locali, estensione di soluzioni locali e soluzioni massimali.
  Slides della lezione (con correzioni)
  Registrazione della lezione

• Lezioni 13 e 14 [12/10/20] Sistemi autonomi su Rⁿ e flussi; proprietà di gruppo dei flussi. Proprietà qualitative di equazioni scalari del prim'ordine: par 3.3 di [AA].
  Esercizi . Esercizio (*) assegnato durante la lezione.
  Slides della lezione
  Registrazione della lezione

• Lezioni 15 e 16 [14/10/20] Discussione dettagliata dell'Es 24 cap 3 [AA] (globalità del massimo e intervallo massimale d'esistenza). Classi risolubili esplicitamente: equazioni omogenee; equazioni di Bernoulli.
  Esercizi. Esercizi (*) assegnati durante la lezione.
  Slides della lezione
  Registrazione della lezione

• Lezioni 17 e 18 [16/10/20] Equazione di Clairaut; soluzioni regolari e soluzione singolare. Discussione del problema di Cauchy x'=1/(x-t^2), x(0)=a>0.
  3 Esercizi assegnati durante la lezione (vedi fine delle slides).
  Slides della lezione
  Registrazione della lezione

• Lezioni 19 e 20 [19/10/20] 1-forme differenziali ed equazioni differenziali esatte. Fattore integrante. Svolgimento di esercizi da [AA].
  Esercizi su equazioni differenziali esatte. Esercizio assegnato a fine lezione (Es 17 di [AMS], vedi slides).
  Slides della lezione
  Registrazione della lezione

• Lezioni 21 e 22 [21/10/20] Criterio di massimalità; applicazione a equazioni differenziali lineari (a coefficienti non costanti).
  Esercizio assegnato a fine lezione (vedi slides).
  Slides della lezione
  Registrazione della lezione

• Lezioni 23 e 24 [23/10/20] Discussione dell'Es 17 [AMS]. Discussione Es 12, 13, 21 e 19 di [AA, par 3.5].
  Esercizi da [AA, Par 3.5] che verranno discussi lunedì 26/10/20: 4, 16, 18, 26, 29.
  Slides della lezione
  Registrazione della lezione

• Lezioni 25 e 26 [26/10/20] Discussione Es 4, 16, 18, 26, 29 di [AA, par 3.5].
  Esercizio Discutere T₊ nell'Es 16 [AA, par 3.5].
  Slides della lezione
  Registrazione della lezione

• Lezioni 27 e 28 [28/10/20] Intervallo massimale di esistenza per l'equazione x'=x³-1, x(0)= xo tramite confronto con le soluzioni di x'=x^a.
  Slides della lezione
  Registrazione della lezione

• Lezioni 29 e 30 [30/10/20] Equazioni lineari del secondo ordine (a coefficienti non costanti); l'operatore L[x]. Funzioni continue linearmente indipendenti. Wronskiano di due funzioni. Wronskiano di due soluzioni di L[x] =0. Teorema di Abel. Soluzioni fondamentali. Soluzione generale di L[x]=0. Ker(L) à uno spazio vettoriale di dimensione 2. Soluzione generale di L[x]=h. Esercizi dal Par 6.5.1 di [AA].
  Slides della lezione (corrette il 2/11/20)
  Registrazione della lezione

• Lezioni 31 e 32 [2/11/20] Soluzione generale dell'equazione non omogenea L[x]=h (metodo di variazione delle costanti).
  Esercizi [6.5.1 e 6.5.2] .
  Slides della lezione
  Registrazione della lezione

• Lezioni 33 e 34 [6/11/20] Metodo di D'Alembert di "riduzione di ordine". Equazioni di Eulero. Esempi ed esercizi.
  Esercizi [6.5.3] .
  Slides della lezione
  Registrazione della lezione

• Lezioni 35 e 36 [9/11/20] Equazioni lineari di ordine superiore a due: esercizi (radici semplici e radici multiple, casi non omogenei). Esercizio su sistemi a coefficienti costanti.
  Esercizi [7.3] .
  Slides della lezione
  Registrazione della lezione

• Lezioni 37 e 38 [11/11/20] Esponenziali di matrici (proprietà fondamentali) e sistemi di equazioni lineari a coefficienti costanti: soluzione fondamentale in termini di esponenziali di matrice. Esempio.
  Slides della lezione
  Registrazione della lezione

• Lezioni 39 e 40 [16/11/20] Sistemi lineari a coefficienti variabili. Wronskiano. Struttura dello spazio delle soluzioni. Soluzione fondamentale e soluzione generale. Il caso non omogeneo (formula di Duhamel). Esercizi.
  Slides della lezione
  Registrazione della lezione

• Lezioni 41 e 42 [18/11/20] Dimostrazione della formula di Abel-Liouville. Soluzioni di sistemi a coefficienti costanti.
  Slides della lezione
  Esercizi [8.5] (NUOVO FILE) .
  Registrazione della lezione

• Lezioni 43 e 44 [20/11/20] Forma normale di Jordan.
  Slides della lezione (ho cancellato l'ultima parte che, rileggendo, non mi sembrava chiara)
  Registrazione della lezione

• Lezioni 45 e 46 [23/11/20] Studio dettagliato di un sistema 3 x 3 con autovalore di molteplicità 3. Sintesi del caso 3 x 3. Esponenziale di matrici di Jordan.
  Slides della lezione
  Registrazione della lezione

• Lezioni 47 e 48 [25/11/20] Spazio delle fasi di equazioni del second'ordine conservative. Analisi qualitativa sullo spazio delle fasi: esempi. Orbite periodiche.
  Esercizi [9.7] (Es da 1 a 21 compreso) .
  Slides della lezione
  Registrazione della lezione

• Lezioni 49 e 50 [27/11/20] Caratterizzazione geometrica delle orbite periodiche.
  Slides della lezione
  Registrazione della lezione

• Lezioni 51 e 52 [30/11/20] Analisi sullo spazio delle fasi. Lo spazio delle fasi dell'oscillatore armonico nonlineare.
  Slides della lezione
  Registrazione della lezione

• Lezioni 53 e 54 [2/12/20] Analisi sullo spazio delle fasi di un potenziale quintico generico. Esercizi da [AA]
  Slides della lezione (FILE PDF con disegno corretto) .
  Registrazione della lezione

• Lezioni 55 e 56 [4/12/20] Teorema di dipendenza regolare da dati iniziali e parametri.
  Slides della lezione
  Registrazione della lezione

• Lezioni 57 e 58 [7/12/20] Teorema di dipendenza regolare da dati iniziali e parametri (conclusione). Stabiltà e stabilità asintotica di un punto di equilibrio. Discussione del caso lineare a coefficienti costanti.
  Esercizi [10.7]
  Slides della lezione (9/12/20)
  Registrazione della lezione

• Lezioni 59 e 60 [9/12/20] Stabilità di minimi locali stretti di sistemi conservativi. Stabilità esponenziale per linearizzazione.
  Slides della lezione
  Registrazione della lezione

• Lezioni 61 e 62 [11/12/20] Criterio di instabilità per linearizzazione. Esempio di un sistema bidimensionale con equilibrio instabile ma bacino di attrazione R² \ {(0,0)}.
  Slides della lezione
  Registrazione della lezione

• Lezioni 63 e 64 [21/12/20]
  Slides della lezione: Svolgimento del test di preparazione all'esame scritto .
  
  

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  Esami

  Appello A : 21/1/21
  Testo
  Soluzioni
  

  

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  Testo consigliato
  [AA] Shair Ahmad and Antonio Ambrosetti: Differential Equations A first course on ODE and a brief introduction to PDE Series: De Gruyter Textbook De Gruyter | 2019 DOI

  Altri testi
  [C] Chierchia, L.: AnalisiMatematica.n , Dispense per i corsi AM210/AM220 - CdL Matematica e Analisi Matematica II - CdL Fisica AA 2018-19
  [AMS] Acerbi, Modica, Spagnolo: Probelmi scelti di Analisi Matematica II . Liguori, 1986
  

  Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: luigi@mat.uniroma3.it